Álgebra Exemplos

$\frac{x^{2} - 16}{x^{2} - 25} < 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x^{2} - 16 = 0$

$x^{2} - 25 = 0$

Etapa 2

Some $16$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 16$

Etapa 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Etapa 4

Simplifique $\pm \sqrt{16}$ .

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Etapa 4.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Etapa 4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 4$

Etapa 5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 4$

Etapa 5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 4$

Etapa 5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 4, - 4$

Etapa 6

Some $25$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 25$

Etapa 7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Etapa 8

Simplifique $\pm \sqrt{25}$ .

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Etapa 8.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Etapa 8.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 5$

Etapa 9

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 9.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 5$

Etapa 9.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 5$

Etapa 9.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 5, - 5$

Etapa 10

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 4, - 4$

$x = 5, - 5$

Etapa 11

Consolide as soluções.

$x = 4, - 4, 5, - 5$

Etapa 12

Encontre o domínio de $\frac{x^{2} - 16}{x^{2} - 25}$ .

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Etapa 12.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} - 16}{x^{2} - 25}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - 25 = 0$

Etapa 12.2

Resolva $x$ .

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Etapa 12.2.1

Some $25$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 25$

Etapa 12.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Etapa 12.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{25}$ .

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Etapa 12.2.3.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Etapa 12.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 5$

Etapa 12.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 12.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 5$

Etapa 12.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 5$

Etapa 12.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 5, - 5$

Etapa 12.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Etapa 13

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$4 < x < 5$

$x > 5$

Etapa 14

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 14.1

Teste um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 14.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 14.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 8)}^{2} - 16}{{(- 8)}^{2} - 25} < 0$

Etapa 14.1.3

O lado esquerdo $1.\overline{230769}$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 14.2

Teste um valor no intervalo $- 5 < x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 14.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 5 < x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4.5$

Etapa 14.2.2

Substitua $x$ por $- 4.5$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 4.5)}^{2} - 16}{{(- 4.5)}^{2} - 25} < 0$

Etapa 14.2.3

O lado esquerdo $- 0.89473684$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 14.3

Teste um valor no intervalo $- 4 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 14.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 4 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 14.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{{(0)}^{2} - 16}{{(0)}^{2} - 25} < 0$

Etapa 14.3.3

O lado esquerdo $0.64$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 14.4

Teste um valor no intervalo $4 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 14.4.1

Escolha um valor no intervalo $4 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4.5$

Etapa 14.4.2

Substitua $x$ por $4.5$ na desigualdade original.

$\frac{{(4.5)}^{2} - 16}{{(4.5)}^{2} - 25} < 0$

Etapa 14.4.3

O lado esquerdo $- 0.89473684$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 14.5

Teste um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 14.5.1

Escolha um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 14.5.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

$\frac{{(8)}^{2} - 16}{{(8)}^{2} - 25} < 0$

Etapa 14.5.3

O lado esquerdo $1.\overline{230769}$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 14.6

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < - 4$ Verdadeiro

$- 4 < x < 4$ Falso

$4 < x < 5$ Verdadeiro

$x > 5$ Falso

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < - 4$ Verdadeiro

$- 4 < x < 4$ Falso

$4 < x < 5$ Verdadeiro

$x > 5$ Falso

Etapa 15

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 5 < x < - 4$ ou $4 < x < 5$

Etapa 16

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- 5, - 4) \cup (4, 5)$

Etapa 17