Álgebra Exemplos

$\frac{2 x}{x - 2} = \frac{1}{x^{2} - 4} + 1$

Etapa 1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Subtraia $\frac{1}{x^{2} - 4}$ dos dois lados da equação.

$\frac{2 x}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4} = 1$

Etapa 1.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\frac{2 x}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4} - 1 = 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{2 x}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4} - 1$ .

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Etapa 2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 x}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 2^{2}} - 1 = 0$

Etapa 2.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{2 x}{x - 2} - \frac{1}{(x + 2) (x - 2)} - 1 = 0$

Etapa 2.2

Para escrever $\frac{2 x}{x - 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2 x}{x - 2} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{1}{(x + 2) (x - 2)} - 1 = 0$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x - 2) (x + 2)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{2 x}{x - 2}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2 x (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 2) (x - 2)} - 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Reordene os fatores de $(x - 2) (x + 2)$ .

$\frac{2 x (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{1}{(x + 2) (x - 2)} - 1 = 0$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 x (x + 2) - 1}{(x + 2) (x - 2)} - 1 = 0$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 - 1}{(x + 2) (x - 2)} - 1 = 0$

Etapa 2.5.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.5.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 2 - 1}{(x + 2) (x - 2)} - 1 = 0$

Etapa 2.5.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot 2 - 1}{(x + 2) (x - 2)} - 1 = 0$

Etapa 2.5.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x - 1}{(x + 2) (x - 2)} - 1 = 0$

Etapa 2.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x - 1}{(x + 2) (x - 2)} - 1 \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.7

Combine $- 1$ e $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x - 1}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 x^{2} + 4 x - 1 - ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 4 x - 1 + (- x - 1 \cdot 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.9.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x - 1 + (- x - 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.9.3

Expanda $(- x - 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.9.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 4 x - 1 - x (x - 2) - 2 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.9.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 4 x - 1 - x \cdot x - x \cdot - 2 - 2 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.9.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 4 x - 1 - x \cdot x - x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.9.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.9.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.9.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.9.4.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x - 1 - (x \cdot x) - x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.9.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x - 1 - x^{2} - x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.9.4.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x - 1 - x^{2} + 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.9.4.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x - 1 - x^{2} + 2 x - 2 x + 4}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.9.4.2

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x - 1 - x^{2} + 0 + 4}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.9.4.3

Some $- x^{2}$ e $0$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x - 1 - x^{2} + 4}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.9.5

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 1 + 4}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.9.6

Some $- 1$ e $4$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + 3}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.9.7

Fatore $x^{2} + 4 x + 3$ usando o método AC.

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Etapa 2.9.7.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $3$ e cuja soma é $4$ .

$1, 3$

Etapa 2.9.7.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x + 1) (x + 3)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 3

Defina o numerador como igual a zero.

$(x + 1) (x + 3) = 0$

Etapa 4

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 4.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 4.2

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 4.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 4.3

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.3.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 4.3.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 4.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, - 3$