Álgebra Exemplos

$\frac{2 x}{x^{2} + 4 x + 4} + \frac{x - 1}{x (x + 2)}$

Etapa 1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 x}{x^{2} + 4 x + 2^{2}} + \frac{x - 1}{x (x + 2)}$

Etapa 1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Etapa 1.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{2 x}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} + \frac{x - 1}{x (x + 2)}$

Etapa 1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{2 x}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{x - 1}{x (x + 2)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{2 x}{{(x + 2)}^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 x}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x - 1}{x (x + 2)}$

Etapa 3

Para escrever $\frac{x - 1}{x (x + 2)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2 x}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x - 1}{x (x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x {(x + 2)}^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{2 x}{{(x + 2)}^{2}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 x \cdot x}{{(x + 2)}^{2} x} + \frac{x - 1}{x (x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{x - 1}{x (x + 2)}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2 x \cdot x}{{(x + 2)}^{2} x} + \frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 2) (x + 2)}$

Etapa 4.3

Eleve $x + 2$ à potência de $1$ .

$\frac{2 x \cdot x}{{(x + 2)}^{2} x} + \frac{(x - 1) (x + 2)}{x ({(x + 2)}^{1} (x + 2))}$

Etapa 4.4

Eleve $x + 2$ à potência de $1$ .

$\frac{2 x \cdot x}{{(x + 2)}^{2} x} + \frac{(x - 1) (x + 2)}{x ({(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1})}$

Etapa 4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x \cdot x}{{(x + 2)}^{2} x} + \frac{(x - 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{1 + 1}}$

Etapa 4.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 x \cdot x}{{(x + 2)}^{2} x} + \frac{(x - 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.7

Reordene os fatores de ${(x + 2)}^{2} x$ .

$\frac{2 x \cdot x}{x {(x + 2)}^{2}} + \frac{(x - 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 x \cdot x + (x - 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + (x - 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + (x - 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 6.2

Expanda $(x - 1) (x + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} + x (x + 2) - 1 (x + 2)}{x {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} + x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x + 2)}{x {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 6.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} + x \cdot x + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2}{x {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 6.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x^{2} + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2}{x {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x^{2} + 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 2}{x {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{2 x^{2} + x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 2}{x {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} + x^{2} + 2 x - x - 2}{x {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 6.3.2

Subtraia $x$ de $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + x^{2} + x - 2}{x {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 6.4

Some $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} + x - 2}{x {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 6.5

Fatore por agrupamento.

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Etapa 6.5.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ e cuja soma é $b = 1$ .

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Etapa 6.5.1.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{3 x^{2} + 1 x - 2}{x {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 6.5.1.2

Reescreva $1$ como $- 2$ mais $3$

$\frac{3 x^{2} + (- 2 + 3) x - 2}{x {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 6.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{2} - 2 x + 3 x - 2}{x {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 6.5.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 6.5.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(3 x^{2} - 2 x) + 3 x - 2}{x {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 6.5.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (3 x - 2) + 1 (3 x - 2)}{x {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 6.5.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 2$ .

$\frac{(3 x - 2) (x + 1)}{x {(x + 2)}^{2}}$