Álgebra Exemplos

$4 x^{4} + 27 x^{2} - 81 = 0$

Etapa 1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 {(x^{2})}^{2} + 27 x^{2} - 81 = 0$

Etapa 2

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$4 u^{2} + 27 u - 81 = 0$

Etapa 3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot - 81 = - 324$ e cuja soma é $b = 27$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $27$ de $27 u$ .

$4 u^{2} + 27 (u) - 81 = 0$

Etapa 3.1.2

Reescreva $27$ como $- 9$ mais $36$

$4 u^{2} + (- 9 + 36) u - 81 = 0$

Etapa 3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 u^{2} - 9 u + 36 u - 81 = 0$

Etapa 3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(4 u^{2} - 9 u) + 36 u - 81 = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (4 u - 9) + 9 (4 u - 9) = 0$

Etapa 3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 u - 9$ .

$(4 u - 9) (u + 9) = 0$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$(4 x^{2} - 9) (x^{2} + 9) = 0$

Etapa 5

Reescreva $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$({(2 x)}^{2} - 9) (x^{2} + 9) = 0$

Etapa 6

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$({(2 x)}^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 9) = 0$

Etapa 7

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2 x$ e $b = 3$ .

$(2 x + 3) (2 x - 3) (x^{2} + 9) = 0$

Etapa 8

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x + 3 = 0$

$2 x - 3 = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

Etapa 9

Defina $2 x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 9.1

Defina $2 x + 3$ como igual a $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Etapa 9.2

Resolva $2 x + 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 9.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 3$

Etapa 9.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 9.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 9.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 9.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Etapa 9.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3}{2}$

Etapa 10

Defina $2 x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Defina $2 x - 3$ como igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Etapa 10.2

Resolva $2 x - 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$2 x = 3$

Etapa 10.2.2

Divida cada termo em $2 x = 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 10.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Etapa 11

Defina $x^{2} + 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Defina $x^{2} + 9$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Etapa 11.2

Resolva $x^{2} + 9 = 0$ para $x$ .

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Etapa 11.2.1

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 9$

Etapa 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Etapa 11.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Etapa 11.2.3.1

Reescreva $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Etapa 11.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (9)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Etapa 11.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Etapa 11.2.3.4

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Etapa 11.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 3$

Etapa 11.2.3.6

Mova $3$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Etapa 11.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 11.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3 i$

Etapa 11.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3 i$

Etapa 11.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3 i, - 3 i$

Etapa 12

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x + 3) (2 x - 3) (x^{2} + 9) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 3 i, - 3 i$