Álgebra Exemplos

${(x - \frac{40}{x})}^{2} - 3 (x - \frac{40}{x}) - 18 = 0$

Etapa 1

Deixe $u = x - \frac{40}{x}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x - \frac{40}{x}$ .

$u^{2} - 3 u - 18 = 0$

Etapa 2

Fatore $u^{2} - 3 u - 18$ usando o método AC.

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Etapa 2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 18$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 6, 3$

Etapa 2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 6) (u + 3) = 0$

Etapa 3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - \frac{40}{x}$ .

$(x - \frac{40}{x} - 6) (x - \frac{40}{x} + 3) = 0$

Etapa 4

Para escrever $x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{x \cdot x}{x} - \frac{40}{x} - 6) (x - \frac{40}{x} + 3) = 0$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$(\frac{x \cdot x - 40}{x} - 6) (x - \frac{40}{x} + 3) = 0$

Etapa 6

Multiplique $x$ por $x$ .

$(\frac{x^{2} - 40}{x} - 6) (x - \frac{40}{x} + 3) = 0$

Etapa 7

Para escrever $- 6$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{x^{2} - 40}{x} - 6 \cdot \frac{x}{x}) (x - \frac{40}{x} + 3) = 0$

Etapa 8

Combine $- 6$ e $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{x^{2} - 40}{x} + \frac{- 6 x}{x}) (x - \frac{40}{x} + 3) = 0$

Etapa 9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2} - 40 - 6 x}{x} \cdot (x - \frac{40}{x} + 3) = 0$

Etapa 10

Fatore $x^{2} - 40 - 6 x$ usando o método AC.

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Etapa 10.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 40$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 10, 4$

Etapa 10.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{x} \cdot (x - \frac{40}{x} + 3) = 0$

Etapa 11

Para escrever $x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{x} \cdot (\frac{x \cdot x}{x} - \frac{40}{x} + 3) = 0$

Etapa 12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{x} \cdot (\frac{x \cdot x - 40}{x} + 3) = 0$

Etapa 13

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{x} \cdot (\frac{x^{2} - 40}{x} + 3) = 0$

Etapa 14

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{x} \cdot (\frac{x^{2} - 40}{x} + \frac{3 x}{x}) = 0$

Etapa 15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{x} \cdot \frac{x^{2} - 40 + 3 x}{x} = 0$

Etapa 16

Fatore $x^{2} - 40 + 3 x$ usando o método AC.

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Etapa 16.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 40$ e cuja soma é $3$ .

$- 5, 8$

Etapa 16.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{x} \cdot \frac{(x - 5) (x + 8)}{x} = 0$

Etapa 17

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{x} = 0$

$\frac{(x - 5) (x + 8)}{x} = 0$

Etapa 18

Defina $\frac{(x - 10) (x + 4)}{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 18.1

Defina $\frac{(x - 10) (x + 4)}{x}$ como igual a $0$ .

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{x} = 0$

Etapa 18.2

Resolva $\frac{(x - 10) (x + 4)}{x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 18.2.1

Defina o numerador como igual a zero.

$(x - 10) (x + 4) = 0$

Etapa 18.2.2

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 18.2.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 18.2.2.2

Defina $x - 10$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 18.2.2.2.1

Defina $x - 10$ como igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

Etapa 18.2.2.2.2

Some $10$ aos dois lados da equação.

$x = 10$

Etapa 18.2.2.3

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 18.2.2.3.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 18.2.2.3.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 18.2.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 10) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 10, - 4$

Etapa 19

Defina $\frac{(x - 5) (x + 8)}{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 19.1

Defina $\frac{(x - 5) (x + 8)}{x}$ como igual a $0$ .

$\frac{(x - 5) (x + 8)}{x} = 0$

Etapa 19.2

Resolva $\frac{(x - 5) (x + 8)}{x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 19.2.1

Defina o numerador como igual a zero.

$(x - 5) (x + 8) = 0$

Etapa 19.2.2

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 19.2.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 8 = 0$

Etapa 19.2.2.2

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 19.2.2.2.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 19.2.2.2.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 19.2.2.3

Defina $x + 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 19.2.2.3.1

Defina $x + 8$ como igual a $0$ .

$x + 8 = 0$

Etapa 19.2.2.3.2

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$x = - 8$

Etapa 19.2.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 5) (x + 8) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, - 8$

Etapa 20

A solução final são todos os valores que tornam $\frac{(x - 10) (x + 4)}{x} \cdot \frac{(x - 5) (x + 8)}{x} = 0$ verdadeiro.

$x = 10, - 4, 5, - 8$