Álgebra Exemplos

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 3} = \frac{2 x}{x - 1} - \frac{x}{x - 3}$

Etapa 1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Subtraia $\frac{2 x}{x - 1}$ dos dois lados da equação.

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 3} - \frac{2 x}{x - 1} = - \frac{x}{x - 3}$

Etapa 1.2

Some $\frac{x}{x - 3}$ aos dois lados da equação.

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 3} - \frac{2 x}{x - 1} + \frac{x}{x - 3} = 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{5}{x^{2} - 4 x + 3} - \frac{2 x}{x - 1} + \frac{x}{x - 3}$ .

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Etapa 2.1

Fatore $x^{2} - 4 x + 3$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $3$ e cuja soma é $- 4$ .

$- 3, - 1$

Etapa 2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{5}{(x - 3) (x - 1)} - \frac{2 x}{x - 1} + \frac{x}{x - 3} = 0$

Etapa 2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 2.2.1

Multiplique $\frac{2 x}{x - 1}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{5}{(x - 3) (x - 1)} - (\frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}) + \frac{x}{x - 3} = 0$

Etapa 2.2.2

Multiplique $\frac{2 x}{x - 1}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{5}{(x - 3) (x - 1)} - \frac{2 x (x - 3)}{(x - 1) (x - 3)} + \frac{x}{x - 3} = 0$

Etapa 2.2.3

Multiplique $\frac{x}{x - 3}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{5}{(x - 3) (x - 1)} - \frac{2 x (x - 3)}{(x - 1) (x - 3)} + \frac{x}{x - 3} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} = 0$

Etapa 2.2.4

Multiplique $\frac{x}{x - 3}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{5}{(x - 3) (x - 1)} - \frac{2 x (x - 3)}{(x - 1) (x - 3)} + \frac{x (x - 1)}{(x - 3) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 - 2 x (x - 3) + x (x - 1)}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Etapa 2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 3 + x (x - 1)}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Etapa 2.4.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.2.1

Mova $x$ .

$\frac{5 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 3 + x (x - 1)}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Etapa 2.4.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{5 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 3 + x (x - 1)}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$\frac{5 - 2 x^{2} + 6 x + x (x - 1)}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Etapa 2.4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 - 2 x^{2} + 6 x + x \cdot x + x \cdot - 1}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Etapa 2.4.5

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{5 - 2 x^{2} + 6 x + x^{2} + x \cdot - 1}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Etapa 2.4.6

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{5 - 2 x^{2} + 6 x + x^{2} - 1 \cdot x}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Etapa 2.4.7

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{5 - 2 x^{2} + 6 x + x^{2} - x}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Etapa 2.5

Some $- 2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{5 - x^{2} + 6 x - x}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Etapa 2.6

Subtraia $x$ de $6 x$ .

$\frac{5 - x^{2} + 5 x}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Etapa 2.7

Reordene os termos.

$\frac{- x^{2} + 5 x + 5}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Etapa 2.8

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 5 x + 5}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Etapa 2.9

Fatore $- 1$ de $5 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- 5 x) + 5}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Etapa 2.10

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 5 x)$ .

$\frac{- (x^{2} - 5 x) + 5}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Etapa 2.11

Reescreva $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$\frac{- (x^{2} - 5 x) - 1 (- 5)}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Etapa 2.12

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} - 5 x) - 1 (- 5)$ .

$\frac{- (x^{2} - 5 x - 5)}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Etapa 2.13

Reescreva $- (x^{2} - 5 x - 5)$ como $- 1 (x^{2} - 5 x - 5)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 5 x - 5)}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Etapa 2.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x^{2} - 5 x - 5}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Etapa 3

Defina o numerador como igual a zero.

$x^{2} - 5 x - 5 = 0$

Etapa 4

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 4.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 5$ e $c = - 5$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Etapa 4.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 5$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.1.3

Some $25$ e $20$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{45}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.1.4

Reescreva $45$ como $3^{2} \cdot 5$ .

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Etapa 4.3.1.4.1

Fatore $9$ de $45$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{9 (5)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.1.4.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2}$

Etapa 4.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 4.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Etapa 4.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 5$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.1.3

Some $25$ e $20$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{45}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.1.4

Reescreva $45$ como $3^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.4.1

Fatore $9$ de $45$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{9 (5)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.1.4.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2}$

Etapa 4.4.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{5 + 3 \sqrt{5}}{2}$

Etapa 4.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 4.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 5$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.3

Some $25$ e $20$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{45}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.4

Reescreva $45$ como $3^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1.4.1

Fatore $9$ de $45$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{9 (5)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.4.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2}$

Etapa 4.5.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{5 - 3 \sqrt{5}}{2}$

Etapa 4.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{5 + 3 \sqrt{5}}{2}, \frac{5 - 3 \sqrt{5}}{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{5 + 3 \sqrt{5}}{2}, \frac{5 - 3 \sqrt{5}}{2}$

Forma decimal:

$x = 5.85410196 \dots, - 0.85410196 \dots$