Álgebra Exemplos

$\frac{3 x^{2} - 1}{x^{2} - 3 x - 18} - \frac{x + 2}{x - 6}$

Etapa 1

Fatore $x^{2} - 3 x - 18$ usando o método AC.

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Etapa 1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 18$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 6, 3$

Etapa 1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{3 x^{2} - 1}{(x - 6) (x + 3)} - \frac{x + 2}{x - 6}$

Etapa 2

Para escrever $- \frac{x + 2}{x - 6}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{3 x^{2} - 1}{(x - 6) (x + 3)} - \frac{x + 2}{x - 6} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{x + 2}{x - 6}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{3 x^{2} - 1}{(x - 6) (x + 3)} - \frac{(x + 2) (x + 3)}{(x - 6) (x + 3)}$

Etapa 3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 x^{2} - 1 - (x + 2) (x + 3)}{(x - 6) (x + 3)}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{2} - 1 + (- x - 1 \cdot 2) (x + 3)}{(x - 6) (x + 3)}$

Etapa 4.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{3 x^{2} - 1 + (- x - 2) (x + 3)}{(x - 6) (x + 3)}$

Etapa 4.3

Expanda $(- x - 2) (x + 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{2} - 1 - x (x + 3) - 2 (x + 3)}{(x - 6) (x + 3)}$

Etapa 4.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{2} - 1 - x \cdot x - x \cdot 3 - 2 (x + 3)}{(x - 6) (x + 3)}$

Etapa 4.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{2} - 1 - x \cdot x - x \cdot 3 - 2 x - 2 \cdot 3}{(x - 6) (x + 3)}$

Etapa 4.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.4.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 1 - (x \cdot x) - x \cdot 3 - 2 x - 2 \cdot 3}{(x - 6) (x + 3)}$

Etapa 4.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 1 - x^{2} - x \cdot 3 - 2 x - 2 \cdot 3}{(x - 6) (x + 3)}$

Etapa 4.4.1.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 x^{2} - 1 - x^{2} - 3 x - 2 x - 2 \cdot 3}{(x - 6) (x + 3)}$

Etapa 4.4.1.3

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 1 - x^{2} - 3 x - 2 x - 6}{(x - 6) (x + 3)}$

Etapa 4.4.2

Subtraia $2 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 1 - x^{2} - 5 x - 6}{(x - 6) (x + 3)}$

Etapa 4.5

Subtraia $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 1 - 5 x - 6}{(x - 6) (x + 3)}$

Etapa 4.6

Subtraia $6$ de $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x - 7}{(x - 6) (x + 3)}$

Etapa 4.7

Fatore por agrupamento.

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Etapa 4.7.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 7 = - 14$ e cuja soma é $b = - 5$ .

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Etapa 4.7.1.1

Fatore $- 5$ de $- 5 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 (x) - 7}{(x - 6) (x + 3)}$

Etapa 4.7.1.2

Reescreva $- 5$ como $2$ mais $- 7$

$\frac{2 x^{2} + (2 - 7) x - 7}{(x - 6) (x + 3)}$

Etapa 4.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 x - 7 x - 7}{(x - 6) (x + 3)}$

Etapa 4.7.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.7.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(2 x^{2} + 2 x) - 7 x - 7}{(x - 6) (x + 3)}$

Etapa 4.7.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{2 x (x + 1) - 7 (x + 1)}{(x - 6) (x + 3)}$

Etapa 4.7.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 7)}{(x - 6) (x + 3)}$