Álgebra Exemplos

$\frac{3 x}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{3 x}{x^{2} - 2^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{3 x}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{3 x}{(x + 2) (x - 2)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{3 x}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 3

Para escrever $- \frac{1}{x^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{3 x}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + 2) (x - 2) x^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{3 x}{(x + 2) (x - 2)}$ por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{3 x \cdot x^{2}}{(x + 2) (x - 2) x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{1}{x^{2}}$ por $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{3 x \cdot x^{2}}{(x + 2) (x - 2) x^{2}} - \frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} ((x + 2) (x - 2))}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(x + 2) (x - 2) x^{2}$ .

$\frac{3 x \cdot x^{2}}{x^{2} (x + 2) (x - 2)} - \frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} ((x + 2) (x - 2))}$

Etapa 4.4

Reordene os fatores de $x^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

$\frac{3 x \cdot x^{2}}{x^{2} (x + 2) (x - 2)} - \frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 x \cdot x^{2} - (x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) - (x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 6.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) - (x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 6.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x^{2 + 1} - (x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 6.1.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{3 x^{3} - (x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{3} + (- x - 1 \cdot 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 6.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{3 x^{3} + (- x - 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 6.4

Expanda $(- x - 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{3} - x (x - 2) - 2 (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 6.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{3} - x \cdot x - x \cdot - 2 - 2 (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 6.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{3} - x \cdot x - x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 6.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.5.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.5.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{3 x^{3} - (x \cdot x) - x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 6.5.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{2} - x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 6.5.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{2} + 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 6.5.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{2} + 2 x - 2 x + 4}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 6.5.2

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{2} + 0 + 4}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 6.5.3

Some $- x^{2}$ e $0$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{2} + 4}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 6.6

Fatore $3 x^{3} - x^{2} + 4$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 6.6.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

Etapa 6.6.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}$

Etapa 6.6.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 6.6.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

$3 {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} + 4$

Etapa 6.6.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$3 \cdot - 1 - {(- 1)}^{2} + 4$

Etapa 6.6.3.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 - {(- 1)}^{2} + 4$

Etapa 6.6.3.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 3 - 1 \cdot 1 + 4$

Etapa 6.6.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 3 - 1 + 4$

Etapa 6.6.3.6

Subtraia $1$ de $- 3$ .

$- 4 + 4$

Etapa 6.6.3.7

Some $- 4$ e $4$ .

$0$

Etapa 6.6.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{3 x^{3} - x^{2} + 4}{x + 1}$

Etapa 6.6.5

Divida $3 x^{3} - x^{2} + 4$ por $x + 1$ .

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Etapa 6.6.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

Etapa 6.6.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$3 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$

Etapa 6.6.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			+	$3 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Etapa 6.6.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x^{3} + 3 x^{2}$ .

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Etapa 6.6.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Etapa 6.6.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 6.6.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 4 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$3 x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 6.6.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Etapa 6.6.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 4 x^{2} - 4 x$ .

				$3 x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Etapa 6.6.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$

Etapa 6.6.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$3 x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

Etapa 6.6.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$3 x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

Etapa 6.6.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							+	$4 x$	+	$4$

Etapa 6.6.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x + 4$ .

				$3 x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$

Etapa 6.6.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$
										$0$

Etapa 6.6.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$3 x^{2} - 4 x + 4$

Etapa 6.6.6

Escreva $3 x^{3} - x^{2} + 4$ como um conjunto de fatores.

$\frac{(x + 1) (3 x^{2} - 4 x + 4)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$