Álgebra Exemplos

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

Etapa 1

Fatore $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Etapa 1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1$

Etapa 1.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Etapa 1.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$1 - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Etapa 1.3.3

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$1 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 1$

Etapa 1.3.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$1 - 3 + 3 \cdot 1 - 1$

Etapa 1.3.5

Subtraia $3$ de $1$ .

$- 2 + 3 \cdot 1 - 1$

Etapa 1.3.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Etapa 1.3.7

Some $- 2$ e $3$ .

$1 - 1$

Etapa 1.3.8

Subtraia $1$ de $1$ .

$0$

Etapa 1.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}{x - 1}$

Etapa 1.5

Divida $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ por $x - 1$ .

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Etapa 1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

Etapa 1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$

Etapa 1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Etapa 1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Etapa 1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x^{2} + 2 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Etapa 1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$

Etapa 1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

Etapa 1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

Etapa 1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							+	$x$	-	$1$

Etapa 1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x - 1$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$

Etapa 1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$
										$0$

Etapa 1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 2 x + 1$

Etapa 1.6

Escreva $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ como um conjunto de fatores.

$(x - 1) (x^{2} - 2 x + 1)$

Etapa 2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$(x - 1) (x^{2} - 2 x + 1^{2})$

Etapa 2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 2.3

Reescreva o polinômio.

$(x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})$

Etapa 2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

$(x - 1) {(x - 1)}^{2}$

Etapa 3

Combine como fatores.

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Etapa 3.1

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

${(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{2}$

Etapa 3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(x - 1)}^{1 + 2}$

Etapa 3.3

Some $1$ e $2$ .

${(x - 1)}^{3}$