Álgebra Exemplos

$\frac{3 + i}{2 - i} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 1

Multiplique o numerador e o denominador de $\frac{3 + i}{2 - i}$ pelo conjugado de $2 - i$ para tornar o denominador real.

$\frac{3 + i}{2 - i} \cdot \frac{2 + i}{2 + i} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 2

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Combine.

$\frac{(3 + i) (2 + i)}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Expanda $(3 + i) (2 + i)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (2 + i) + i (2 + i)}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 \cdot 2 + 3 i + i (2 + i)}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 2.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 \cdot 2 + 3 i + i \cdot 2 + i i}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 2.2.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 + 3 i + i \cdot 2 + i i}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 2.2.2.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$\frac{6 + 3 i + 2 \cdot i + i i}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 2.2.2.1.3

Multiplique $i i$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.3.1

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$\frac{6 + 3 i + 2 i + i^{1} i}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 2.2.2.1.3.2

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$\frac{6 + 3 i + 2 i + i^{1} i^{1}}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 2.2.2.1.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{6 + 3 i + 2 i + i^{1 + 1}}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 2.2.2.1.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{6 + 3 i + 2 i + i^{2}}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 2.2.2.1.4

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{6 + 3 i + 2 i - 1}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 2.2.2.2

Subtraia $1$ de $6$ .

$\frac{5 + 3 i + 2 i}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 2.2.2.3

Some $3 i$ e $2 i$ .

$\frac{5 + 5 i}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 2.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Expanda $(2 - i) (2 + i)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 + 5 i}{2 (2 + i) - i (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 2.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 + 5 i}{2 \cdot 2 + 2 i - i (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 + 5 i}{2 \cdot 2 + 2 i - i \cdot 2 - i i} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 2.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{5 + 5 i}{4 + 2 i - i \cdot 2 - i i} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{5 + 5 i}{4 + 2 i - 2 i - i i} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 2.3.2.3

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$\frac{5 + 5 i}{4 + 2 i - 2 i - (i^{1} i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 2.3.2.4

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$\frac{5 + 5 i}{4 + 2 i - 2 i - (i^{1} i^{1})} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 2.3.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5 + 5 i}{4 + 2 i - 2 i - i^{1 + 1}} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 2.3.2.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{5 + 5 i}{4 + 2 i - 2 i - i^{2}} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 2.3.2.7

Subtraia $2 i$ de $2 i$ .

$\frac{5 + 5 i}{4 + 0 - i^{2}} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 2.3.2.8

Some $4$ e $0$ .

$\frac{5 + 5 i}{4 - i^{2}} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 2.3.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{5 + 5 i}{4 - - 1} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 2.3.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{5 + 5 i}{4 + 1} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 2.3.4

Some $4$ e $1$ .

$\frac{5 + 5 i}{5} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 3

Cancele o fator comum de $5 + 5 i$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{5 \cdot 1 + 5 i}{5} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 3.2

Fatore $5$ de $5 i$ .

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (i)}{5} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 3.3

Fatore $5$ de $5 (1) + 5 (i)$ .

$\frac{5 (1 + i)}{5} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 3.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{5 (1 + i)}{5 (1)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 3.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (1 + i)}{5 \cdot 1} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 3.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + i}{1} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 3.4.4

Divida $1 + i$ por $1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Etapa 4

Multiplique o numerador e o denominador de $\frac{4 + i}{2 + 1 i}$ pelo conjugado de $2 + 1 i$ para tornar o denominador real.

$(1 + i) \cdot (\frac{4 + i}{2 + 1 i} \cdot \frac{2 - i}{2 - i})$

Etapa 5

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine.

$(1 + i) \cdot \frac{(4 + i) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Etapa 5.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Expanda $(4 + i) (2 - i)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 + i) \cdot \frac{4 (2 - i) + i (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Etapa 5.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 + i) \cdot \frac{4 \cdot 2 + 4 (- i) + i (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Etapa 5.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 + i) \cdot \frac{4 \cdot 2 + 4 (- i) + i \cdot 2 + i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Etapa 5.2.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$(1 + i) \cdot \frac{8 + 4 (- i) + i \cdot 2 + i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Etapa 5.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$(1 + i) \cdot \frac{8 - 4 i + i \cdot 2 + i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Etapa 5.2.2.1.3

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$(1 + i) \cdot \frac{8 - 4 i + 2 \cdot i + i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Etapa 5.2.2.1.4

Multiplique $i (- i)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.4.1

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{8 - 4 i + 2 i - (i^{1} i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Etapa 5.2.2.1.4.2

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{8 - 4 i + 2 i - (i^{1} i^{1})}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Etapa 5.2.2.1.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(1 + i) \cdot \frac{8 - 4 i + 2 i - i^{1 + 1}}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Etapa 5.2.2.1.4.4

Some $1$ e $1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{8 - 4 i + 2 i - i^{2}}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Etapa 5.2.2.1.5

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{8 - 4 i + 2 i - - 1}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Etapa 5.2.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{8 - 4 i + 2 i + 1}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Etapa 5.2.2.2

Some $8$ e $1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 4 i + 2 i}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Etapa 5.2.2.3

Some $- 4 i$ e $2 i$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Etapa 5.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Expanda $(2 + 1 i) (2 - i)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{2 (2 - i) + 1 i (2 - i)}$

Etapa 5.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{2 \cdot 2 + 2 (- i) + 1 i (2 - i)}$

Etapa 5.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{2 \cdot 2 + 2 (- i) + 1 i \cdot 2 + 1 i (- i)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 + 2 (- i) + 1 i \cdot 2 + 1 i (- i)}$

Etapa 5.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 - 2 i + 1 i \cdot 2 + 1 i (- i)}$

Etapa 5.3.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 - 2 i + 2 i + 1 i (- i)}$

Etapa 5.3.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 - 2 i + 2 i - i i}$

Etapa 5.3.2.5

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 - 2 i + 2 i - (i^{1} i)}$

Etapa 5.3.2.6

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 - 2 i + 2 i - (i^{1} i^{1})}$

Etapa 5.3.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 - 2 i + 2 i - i^{1 + 1}}$

Etapa 5.3.2.8

Some $1$ e $1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 - 2 i + 2 i - i^{2}}$

Etapa 5.3.2.9

Some $- 2 i$ e $2 i$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 + 0 - i^{2}}$

Etapa 5.3.2.10

Some $4$ e $0$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 - i^{2}}$

Etapa 5.3.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 - - 1}$

Etapa 5.3.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 + 1}$

Etapa 5.3.4

Some $4$ e $1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{5}$

Etapa 6

Divida a fração $\frac{9 - 2 i}{5}$ em duas frações.

$(1 + i) \cdot (\frac{9}{5} + \frac{- 2 i}{5})$

Etapa 7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$(1 + i) \cdot (\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5})$

Etapa 8

Expanda $(1 + i) (\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 (\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5}) + i (\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5})$

Etapa 8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 (\frac{9}{5}) + 1 (- \frac{2 i}{5}) + i (\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5})$

Etapa 8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 (\frac{9}{5}) + 1 (- \frac{2 i}{5}) + i \frac{9}{5} + i (- \frac{2 i}{5})$

Etapa 9

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Multiplique $\frac{9}{5}$ por $1$ .

$\frac{9}{5} + 1 (- \frac{2 i}{5}) + i \frac{9}{5} + i (- \frac{2 i}{5})$

Etapa 9.1.2

Multiplique $- \frac{2 i}{5}$ por $1$ .

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + i \frac{9}{5} + i (- \frac{2 i}{5})$

Etapa 9.1.3

Combine $i$ e $\frac{9}{5}$ .

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{i \cdot 9}{5} + i (- \frac{2 i}{5})$

Etapa 9.1.4

Mova $9$ para a esquerda de $i$ .

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5} + i (- \frac{2 i}{5})$

Etapa 9.1.5

Multiplique $i (- \frac{2 i}{5})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.5.1

Combine $i$ e $\frac{2 i}{5}$ .

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5} - \frac{i (2 i)}{5}$

Etapa 9.1.5.2

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5} - \frac{2 (i^{1} i)}{5}$

Etapa 9.1.5.3

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5} - \frac{2 (i^{1} i^{1})}{5}$

Etapa 9.1.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5} - \frac{2 i^{1 + 1}}{5}$

Etapa 9.1.5.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5} - \frac{2 i^{2}}{5}$

Etapa 9.1.6

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5} - \frac{2 \cdot - 1}{5}$

Etapa 9.1.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5} - \frac{- 2}{5}$

Etapa 9.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5} - - \frac{2}{5}$

Etapa 9.1.9

Multiplique $- - \frac{2}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.9.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5} + 1 (\frac{2}{5})$

Etapa 9.1.9.2

Multiplique $\frac{2}{5}$ por $1$ .

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5} + \frac{2}{5}$

Etapa 9.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{9 + 2}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5}$

Etapa 9.3

Some $9$ e $2$ .

$\frac{11}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5}$

Etapa 9.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{11}{5} + \frac{7 i}{5}$