Álgebra Exemplos

$\frac{2 x + 5}{x^{2} - 3 x - 10} + \frac{x + 1}{x + 2}$

Etapa 1

Fatore $x^{2} - 3 x - 10$ usando o método AC.

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Etapa 1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 10$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 5, 2$

Etapa 1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{2 x + 5}{(x - 5) (x + 2)} + \frac{x + 1}{x + 2}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{x + 1}{x + 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{2 x + 5}{(x - 5) (x + 2)} + \frac{x + 1}{x + 2} \cdot \frac{x - 5}{x - 5}$

Etapa 3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x - 5) (x + 2)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{x + 1}{x + 2}$ por $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{2 x + 5}{(x - 5) (x + 2)} + \frac{(x + 1) (x - 5)}{(x + 2) (x - 5)}$

Etapa 3.2

Reordene os fatores de $(x - 5) (x + 2)$ .

$\frac{2 x + 5}{(x + 2) (x - 5)} + \frac{(x + 1) (x - 5)}{(x + 2) (x - 5)}$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 x + 5 + (x + 1) (x - 5)}{(x + 2) (x - 5)}$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1

Expanda $(x + 1) (x - 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x + 5 + x (x - 5) + 1 (x - 5)}{(x + 2) (x - 5)}$

Etapa 5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x + 5 + x \cdot x + x \cdot - 5 + 1 (x - 5)}{(x + 2) (x - 5)}$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x + 5 + x \cdot x + x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5}{(x + 2) (x - 5)}$

Etapa 5.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x + 5 + x^{2} + x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5}{(x + 2) (x - 5)}$

Etapa 5.2.1.2

Mova $- 5$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 x + 5 + x^{2} - 5 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 5}{(x + 2) (x - 5)}$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{2 x + 5 + x^{2} - 5 x + x + 1 \cdot - 5}{(x + 2) (x - 5)}$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$\frac{2 x + 5 + x^{2} - 5 x + x - 5}{(x + 2) (x - 5)}$

Etapa 5.2.2

Some $- 5 x$ e $x$ .

$\frac{2 x + 5 + x^{2} - 4 x - 5}{(x + 2) (x - 5)}$

Etapa 5.3

Subtraia $4 x$ de $2 x$ .

$\frac{- 2 x + 5 + x^{2} - 5}{(x + 2) (x - 5)}$

Etapa 5.4

Subtraia $5$ de $5$ .

$\frac{- 2 x + x^{2} + 0}{(x + 2) (x - 5)}$

Etapa 5.5

Some $- 2 x + x^{2}$ e $0$ .

$\frac{- 2 x + x^{2}}{(x + 2) (x - 5)}$

Etapa 5.6

Fatore $x$ de $- 2 x + x^{2}$ .

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Etapa 5.6.1

Fatore $x$ de $- 2 x$ .

$\frac{x \cdot - 2 + x^{2}}{(x + 2) (x - 5)}$

Etapa 5.6.2

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot - 2 + x \cdot x}{(x + 2) (x - 5)}$

Etapa 5.6.3

Fatore $x$ de $x \cdot - 2 + x \cdot x$ .

$\frac{x (- 2 + x)}{(x + 2) (x - 5)}$

Etapa 6

Simplifique com fatoração.

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Etapa 6.1

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{x (- 1 (2) + x)}{(x + 2) (x - 5)}$

Etapa 6.2

Fatore $- 1$ de $x$ .

$\frac{x (- 1 (2) - 1 (- x))}{(x + 2) (x - 5)}$

Etapa 6.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (2) - 1 (- x)$ .

$\frac{x (- 1 (2 - x))}{(x + 2) (x - 5)}$

Etapa 6.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x (2 - x)}{(x + 2) (x - 5)}$