Álgebra Exemplos

$\ln (x + 5) = \ln (x - 1) - \ln (x + 1)$

Etapa 1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (x + 5) = \ln (\frac{x - 1}{x + 1})$

Etapa 2

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$x + 5 = \frac{x - 1}{x + 1}$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.1.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = \frac{x - 1}{x + 1} - 5$

Etapa 3.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.1

Divida a fração $\frac{x - 1}{x + 1}$ em duas frações.

$x = \frac{x}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1} - 5$

Etapa 3.1.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} - 5$

Etapa 3.1.3

Encontre o denominador comum.

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Etapa 3.1.3.1

Escreva $- 5$ como uma fração com denominador $1$ .

$x = \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} + \frac{- 5}{1}$

Etapa 3.1.3.2

Multiplique $\frac{- 5}{1}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$x = \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Etapa 3.1.3.3

Multiplique $\frac{- 5}{1}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$x = \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} + \frac{- 5 (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 3.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{x - 1 - 5 (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 3.1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{x - 1 - 5 x - 5 \cdot 1}{x + 1}$

Etapa 3.1.5.2

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$x = \frac{x - 1 - 5 x - 5}{x + 1}$

Etapa 3.1.6

Subtraia $5 x$ de $x$ .

$x = \frac{- 4 x - 1 - 5}{x + 1}$

Etapa 3.1.7

Subtraia $5$ de $- 1$ .

$x = \frac{- 4 x - 6}{x + 1}$

Etapa 3.1.8

Fatore $2$ de $- 4 x - 6$ .

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Etapa 3.1.8.1

Fatore $2$ de $- 4 x$ .

$x = \frac{2 (- 2 x) - 6}{x + 1}$

Etapa 3.1.8.2

Fatore $2$ de $- 6$ .

$x = \frac{2 (- 2 x) + 2 (- 3)}{x + 1}$

Etapa 3.1.8.3

Fatore $2$ de $2 (- 2 x) + 2 (- 3)$ .

$x = \frac{2 (- 2 x - 3)}{x + 1}$

Etapa 3.1.9

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$x = \frac{2 (- (2 x) - 3)}{x + 1}$

Etapa 3.1.10

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{2 (- (2 x) - 1 (3))}{x + 1}$

Etapa 3.1.11

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - 1 (3)$ .

$x = \frac{2 (- (2 x + 3))}{x + 1}$

Etapa 3.1.12

Reescreva $- (2 x + 3)$ como $- 1 (2 x + 3)$ .

$x = \frac{2 (- 1 (2 x + 3))}{x + 1}$

Etapa 3.1.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1}$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x + 1$

Etapa 3.2.2

Remova os parênteses.

$1, x + 1$

Etapa 3.2.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x + 1$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $x = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1}$ por $x + 1$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $x = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1}$ por $x + 1$ .

$x (x + 1) = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 1 = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.2.2.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1 = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

Etapa 3.3.2.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$x^{2} + x = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 3.3.3.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1}$ para o numerador.

$x^{2} + x = \frac{- 2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

Etapa 3.3.3.1.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} + x = \frac{- 2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

Etapa 3.3.3.1.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} + x = - 2 (2 x + 3)$

Etapa 3.3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + x = - 2 (2 x) - 2 \cdot 3$

Etapa 3.3.3.3

Multiplique.

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Etapa 3.3.3.3.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$x^{2} + x = - 4 x - 2 \cdot 3$

Etapa 3.3.3.3.2

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$x^{2} + x = - 4 x - 6$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

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Etapa 3.4.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.4.1.1

Some $4 x$ aos dois lados da equação.

$x^{2} + x + 4 x = - 6$

Etapa 3.4.1.2

Some $x$ e $4 x$ .

$x^{2} + 5 x = - 6$

Etapa 3.4.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x^{2} + 5 x + 6 = 0$

Etapa 3.4.3

Fatore $x^{2} + 5 x + 6$ usando o método AC.

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Etapa 3.4.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $6$ e cuja soma é $5$ .

$2, 3$

Etapa 3.4.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x + 2) (x + 3) = 0$

Etapa 3.4.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 3.4.5

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.4.5.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 3.4.5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 3.4.6

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.4.6.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 3.4.6.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 3.4.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 2) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, - 3$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\ln (x + 5) = \ln (x - 1) - \ln (x + 1)$ verdadeira.

$Nenhuma solução$