Álgebra Exemplos

$\frac{y + 3}{y^{2} + 7 y + 12} - \frac{5}{y^{2} - 9}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Fatore $y^{2} + 7 y + 12$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $12$ e cuja soma é $7$ .

$3, 4$

Etapa 1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{y + 3}{(y + 3) (y + 4)} - \frac{5}{y^{2} - 9}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y + 3$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y + 3}{(y + 3) (y + 4)} - \frac{5}{y^{2} - 9}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y + 4} - \frac{5}{y^{2} - 9}$

Etapa 1.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.3.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{y + 4} - \frac{5}{y^{2} - 3^{2}}$

Etapa 1.3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = 3$ .

$\frac{1}{y + 4} - \frac{5}{(y + 3) (y - 3)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{1}{y + 4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)}$ .

$\frac{1}{y + 4} \cdot \frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} - \frac{5}{(y + 3) (y - 3)}$

Etapa 3

Para escrever $- \frac{5}{(y + 3) (y - 3)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y + 4}{y + 4}$ .

$\frac{1}{y + 4} \cdot \frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} - \frac{5}{(y + 3) (y - 3)} \cdot \frac{y + 4}{y + 4}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(y + 4) (y + 3) (y - 3)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{1}{y + 4}$ por $\frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)}$ .

$\frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 4) ((y + 3) (y - 3))} - \frac{5}{(y + 3) (y - 3)} \cdot \frac{y + 4}{y + 4}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{5}{(y + 3) (y - 3)}$ por $\frac{y + 4}{y + 4}$ .

$\frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 4) ((y + 3) (y - 3))} - \frac{5 (y + 4)}{(y + 3) (y - 3) (y + 4)}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(y + 4) ((y + 3) (y - 3))$ .

$\frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)} - \frac{5 (y + 4)}{(y + 3) (y - 3) (y + 4)}$

Etapa 4.4

Reordene os fatores de $(y + 3) (y - 3) (y + 4)$ .

$\frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)} - \frac{5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(y + 3) (y - 3) - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Expanda $(y + 3) (y - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y (y - 3) + 3 (y - 3) - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Etapa 6.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 3 + 3 (y - 3) - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Etapa 6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 3 + 3 y + 3 \cdot - 3 - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Etapa 6.2

Combine os termos opostos em $y \cdot y + y \cdot - 3 + 3 y + 3 \cdot - 3$ .

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Etapa 6.2.1

Reorganize os fatores nos termos $y \cdot - 3$ e $3 y$ .

$\frac{y \cdot y - 3 y + 3 y + 3 \cdot - 3 - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Etapa 6.2.2

Some $- 3 y$ e $3 y$ .

$\frac{y \cdot y + 0 + 3 \cdot - 3 - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Etapa 6.2.3

Some $y \cdot y$ e $0$ .

$\frac{y \cdot y + 3 \cdot - 3 - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Etapa 6.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{y^{2} + 3 \cdot - 3 - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Etapa 6.3.2

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$\frac{y^{2} - 9 - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y^{2} - 9 - 5 y - 5 \cdot 4}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Etapa 6.5

Multiplique $- 5$ por $4$ .

$\frac{y^{2} - 9 - 5 y - 20}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Etapa 6.6

Subtraia $20$ de $- 9$ .

$\frac{y^{2} - 5 y - 29}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$