Álgebra Exemplos

$\log (x) + \log (x + 15) = 2$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x (x + 15)) = 2$

Etapa 1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (x \cdot x + x \cdot 15) = 2$

Etapa 1.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log (x^{2} + x \cdot 15) = 2$

Etapa 1.3.2

Mova $15$ para a esquerda de $x$ .

$\log (x^{2} + 15 x) = 2$

Etapa 2

Reescreva $\log (x^{2} + 15 x) = 2$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{2} = x^{2} + 15 x$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $x^{2} + 15 x = 10^{2}$ .

$x^{2} + 15 x = 10^{2}$

Etapa 3.2

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$x^{2} + 15 x = 100$

Etapa 3.3

Subtraia $100$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 15 x - 100 = 0$

Etapa 3.4

Fatore $x^{2} + 15 x - 100$ usando o método AC.

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Etapa 3.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 100$ e cuja soma é $15$ .

$- 5, 20$

Etapa 3.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 5) (x + 20) = 0$

Etapa 3.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 20 = 0$

Etapa 3.6

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 3.6.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 3.7

Defina $x + 20$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.7.1

Defina $x + 20$ como igual a $0$ .

$x + 20 = 0$

Etapa 3.7.2

Subtraia $20$ dos dois lados da equação.

$x = - 20$

Etapa 3.8

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 5) (x + 20) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, - 20$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log (x) + \log (x + 15) = 2$ verdadeira.

$x = 5$