Álgebra Exemplos

A line is perpendicular to $y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3}$ and intersects the point $(- 2, 4)$ What is the equation of this perpendicular line?

Etapa 1

Escreva o problema como uma expressão matemática.

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3}$ , $(- 2, 4)$

Etapa 2

Encontre a inclinação quando $y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3}$ .

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Etapa 2.1

Reescreva na forma reduzida.

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Etapa 2.1.1

A forma reduzida é $y = m x + b$ , em que $m$ é a inclinação e $b$ é a intersecção com o eixo y.

$y = m x + b$

Etapa 2.1.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $x$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3}$

Etapa 2.1.3

Reordene os termos.

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3}$

Etapa 2.2

Usando a forma reduzida, a inclinação é $\frac{2}{3}$ .

$m = \frac{2}{3}$

Etapa 3

A equação de uma reta perpendicular deve ter uma inclinação que seja o inverso negativo da inclinação original.

$m_{perpendicular} = - \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Etapa 4

Simplifique $- \frac{1}{\frac{2}{3}}$ para encontrar a inclinação da reta perpendicular.

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Etapa 4.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$m_{perpendicular} = - (1 (\frac{3}{2}))$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$m_{perpendicular} = - \frac{3}{2}$

Etapa 5

Encontre a equação da reta perpendicular usando a fórmula do ponto-declividade.

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Etapa 5.1

Use a inclinação $- \frac{3}{2}$ e um ponto determinado $(- 2, 4)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - \frac{3}{2} \cdot (x - (- 2))$

Etapa 5.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 4 = - \frac{3}{2} \cdot (x + 2)$

Etapa 6

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 6.1

Resolva $y$ .

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Etapa 6.1.1

Simplifique $- \frac{3}{2} \cdot (x + 2)$ .

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Etapa 6.1.1.1

Reescreva.

$y - 4 = 0 + 0 - \frac{3}{2} \cdot (x + 2)$

Etapa 6.1.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 6.1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 4 = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot 2$

Etapa 6.1.1.2.2

Combine $x$ e $\frac{3}{2}$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 2$

Etapa 6.1.1.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.1.1.2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{2}$ para o numerador.

$y - 4 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot 2$

Etapa 6.1.1.2.3.2

Cancele o fator comum.

$y - 4 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot 2$

Etapa 6.1.1.2.3.3

Reescreva a expressão.

$y - 4 = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3$

Etapa 6.1.1.3

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$y - 4 = - \frac{3 x}{2} - 3$

Etapa 6.1.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.1.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$y = - \frac{3 x}{2} - 3 + 4$

Etapa 6.1.2.2

Some $- 3$ e $4$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + 1$

Etapa 6.2

Reordene os termos.

$y = - (\frac{3}{2} x) + 1$

Etapa 6.3

Remova os parênteses.

$y = - \frac{3}{2} x + 1$

Etapa 7