Álgebra Exemplos

$\log_{5} (\frac{25}{x}) = 4 + \log_{5} (x)$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\log_{5} (\frac{25}{x}) - \log_{5} (x) = 4$

Etapa 2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{\frac{25}{x}}{x}) = 4$

Etapa 3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\log_{5} (\frac{25}{x} \cdot \frac{1}{x}) = 4$

Etapa 4

Multiplique $\frac{25}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{25}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\log_{5} (\frac{25}{x \cdot x}) = 4$

Etapa 4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\log_{5} (\frac{25}{x \cdot x}) = 4$

Etapa 4.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\log_{5} (\frac{25}{x \cdot x}) = 4$

Etapa 4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\log_{5} (\frac{25}{x^{1 + 1}}) = 4$

Etapa 4.5

Some $1$ e $1$ .

$\log_{5} (\frac{25}{x^{2}}) = 4$

Etapa 5

Reescreva $\log_{5} (\frac{25}{x^{2}}) = 4$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{4} = \frac{25}{x^{2}}$

Etapa 6

Resolva $x$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $\frac{25}{x^{2}} = 5^{4}$ .

$\frac{25}{x^{2}} = 5^{4}$

Etapa 6.2

Eleve $5$ à potência de $4$ .

$\frac{25}{x^{2}} = 625$

Etapa 6.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 6.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{2}, 1$

Etapa 6.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{2}$

Etapa 6.4

Multiplique cada termo em $\frac{25}{x^{2}} = 625$ por $x^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 6.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{25}{x^{2}} = 625$ por $x^{2}$ .

$\frac{25}{x^{2}} x^{2} = 625 x^{2}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 6.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{25}{x^{2}} x^{2} = 625 x^{2}$

Etapa 6.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$25 = 625 x^{2}$

Etapa 6.5

Resolva a equação.

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Etapa 6.5.1

Reescreva a equação como $625 x^{2} = 25$ .

$625 x^{2} = 25$

Etapa 6.5.2

Divida cada termo em $625 x^{2} = 25$ por $625$ e simplifique.

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Etapa 6.5.2.1

Divida cada termo em $625 x^{2} = 25$ por $625$ .

$\frac{625 x^{2}}{625} = \frac{25}{625}$

Etapa 6.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $625$ .

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Etapa 6.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{625 x^{2}}{625} = \frac{25}{625}$

Etapa 6.5.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{625}$

Etapa 6.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.5.2.3.1

Cancele o fator comum de $25$ e $625$ .

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Etapa 6.5.2.3.1.1

Fatore $25$ de $25$ .

$x^{2} = \frac{25 (1)}{625}$

Etapa 6.5.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.5.2.3.1.2.1

Fatore $25$ de $625$ .

$x^{2} = \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 25}$

Etapa 6.5.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} = \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 25}$

Etapa 6.5.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} = \frac{1}{25}$

Etapa 6.5.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{25}}$

Etapa 6.5.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{25}}$ .

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Etapa 6.5.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{25}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$

Etapa 6.5.4.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{25}}$

Etapa 6.5.4.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.5.4.3.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

Etapa 6.5.4.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{1}{5}$

Etapa 6.5.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.5.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{1}{5}$

Etapa 6.5.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{1}{5}$

Etapa 6.5.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{1}{5}, - \frac{1}{5}$

Etapa 7

Exclua as soluções que não tornam $\log_{5} (\frac{25}{x}) = 4 + \log_{5} (x)$ verdadeira.

$x = \frac{1}{5}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{1}{5}$

Forma decimal:

$x = 0.2$