Álgebra Exemplos

${(\frac{1}{3})}^{2 x - 5} = 120$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln ({(\frac{1}{3})}^{2 x - 5}) = \ln (120)$

Etapa 2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Expanda $\ln ({(\frac{1}{3})}^{2 x - 5})$ movendo $2 x - 5$ para fora do logaritmo.

$(2 x - 5) \ln (\frac{1}{3}) = \ln (120)$

Etapa 2.2

Reescreva $\ln (\frac{1}{3})$ como $\ln (1) - \ln (3)$ .

$(2 x - 5) (\ln (1) - \ln (3)) = \ln (120)$

Etapa 2.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$(2 x - 5) (0 - \ln (3)) = \ln (120)$

Etapa 2.4

Subtraia $\ln (3)$ de $0$ .

$(2 x - 5) (- \ln (3)) = \ln (120)$

Etapa 3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1

Simplifique $(2 x - 5) (- \ln (3))$ .

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Etapa 3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (- \ln (3)) - 5 (- \ln (3)) = \ln (120)$

Etapa 3.1.2

Multiplique.

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Etapa 3.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 x \ln (3) - 5 (- \ln (3)) = \ln (120)$

Etapa 3.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$- 2 x \ln (3) + 5 \ln (3) = \ln (120)$

Etapa 4

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$- 2 x \ln (3) + 5 \ln (3) - \ln (120) = 0$

Etapa 5

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1

Subtraia $5 \ln (3)$ dos dois lados da equação.

$- 2 x \ln (3) - \ln (120) = - 5 \ln (3)$

Etapa 5.2

Some $\ln (120)$ aos dois lados da equação.

$- 2 x \ln (3) = - 5 \ln (3) + \ln (120)$

Etapa 6

Divida cada termo em $- 2 x \ln (3) = - 5 \ln (3) + \ln (120)$ por $- 2 \ln (3)$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $- 2 x \ln (3) = - 5 \ln (3) + \ln (120)$ por $- 2 \ln (3)$ .

$\frac{- 2 x \ln (3)}{- 2 \ln (3)} = \frac{- 5 \ln (3)}{- 2 \ln (3)} + \frac{\ln (120)}{- 2 \ln (3)}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x \ln (3)}{- 2 \ln (3)} = \frac{- 5 \ln (3)}{- 2 \ln (3)} + \frac{\ln (120)}{- 2 \ln (3)}$

Etapa 6.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- 5 \ln (3)}{- 2 \ln (3)} + \frac{\ln (120)}{- 2 \ln (3)}$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum de $\ln (3)$ .

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Etapa 6.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- 5 \ln (3)}{- 2 \ln (3)} + \frac{\ln (120)}{- 2 \ln (3)}$

Etapa 6.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \ln (3)}{- 2 \ln (3)} + \frac{\ln (120)}{- 2 \ln (3)}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1.1

Cancele o fator comum de $\ln (3)$ .

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Etapa 6.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{- 5 \ln (3)}{- 2 \ln (3)} + \frac{\ln (120)}{- 2 \ln (3)}$

Etapa 6.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = \frac{- 5}{- 2} + \frac{\ln (120)}{- 2 \ln (3)}$

Etapa 6.3.1.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{5}{2} + \frac{\ln (120)}{- 2 \ln (3)}$

Etapa 6.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = \frac{5}{2} - \frac{\ln (120)}{2 \ln (3)}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{5}{2} - \frac{\ln (120)}{2 \ln (3)}$

Forma decimal:

$x = 0.32111860 \dots$