Álgebra Exemplos

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3}{4} \cdot (\log_{5} (405) - \log_{5} (5))$

Etapa 1

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Simplifique $\frac{3}{4} \cdot (\log_{5} (405) - \log_{5} (5))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3}{4} \log_{5} (405) + \frac{3}{4} (- \log_{5} (5))$

Etapa 1.1.2

Combine $\frac{3}{4}$ e $\log_{5} (405)$ .

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} + \frac{3}{4} (- \log_{5} (5))$

Etapa 1.1.3

Combine $\frac{3}{4}$ e $\log_{5} (5)$ .

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} - \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$

Etapa 2

Multiplique cada termo em $\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} - \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$ por $4$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo em $\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} - \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$ por $4$ .

$\log_{5} (3 k + 12) \cdot 4 = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} \cdot 4 - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Mova $4$ para a esquerda de $\log_{5} (3 k + 12)$ .

$4 \log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} \cdot 4 - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} \cdot 4 - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Etapa 2.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Etapa 2.3.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.3.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$ para o numerador.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) + \frac{- 3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Etapa 2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) + \frac{- 3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Etapa 2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) - 3 \log_{5} (5)$

Etapa 3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique $4 \log_{5} (3 k + 12)$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = 3 \log_{5} (405) - 3 \log_{5} (5)$

Etapa 4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Simplifique $3 \log_{5} (405)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (405^{3}) - 3 \log_{5} (5)$

Etapa 4.1.2

Eleve $405$ à potência de $3$ .

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (66430125) - 3 \log_{5} (5)$

Etapa 4.1.3

A base do logaritmo $5$ de $5$ é $1$ .

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (66430125) - 3 \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (66430125) - 3$

Etapa 5

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) - \log_{5} (66430125) = - 3$

Etapa 6

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{{(3 k + 12)}^{4}}{66430125}) = - 3$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Fatore $3$ de $3 k + 12$ .

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Etapa 7.1.1

Fatore $3$ de $3 k$ .

$\log_{5} (\frac{{(3 (k) + 12)}^{4}}{66430125}) = - 3$

Etapa 7.1.2

Fatore $3$ de $12$ .

$\log_{5} (\frac{{(3 k + 3 \cdot 4)}^{4}}{66430125}) = - 3$

Etapa 7.1.3

Fatore $3$ de $3 k + 3 \cdot 4$ .

$\log_{5} (\frac{{(3 (k + 4))}^{4}}{66430125}) = - 3$

Etapa 7.2

Aplique a regra do produto a $3 (k + 4)$ .

$\log_{5} (\frac{3^{4} {(k + 4)}^{4}}{66430125}) = - 3$

Etapa 7.3

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$\log_{5} (\frac{81 {(k + 4)}^{4}}{66430125}) = - 3$

Etapa 8

Cancele o fator comum de $81$ e $66430125$ .

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Etapa 8.1

Fatore $81$ de $81 {(k + 4)}^{4}$ .

$\log_{5} (\frac{81 ({(k + 4)}^{4})}{66430125}) = - 3$

Etapa 8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.2.1

Fatore $81$ de $66430125$ .

$\log_{5} (\frac{81 {(k + 4)}^{4}}{81 \cdot 820125}) = - 3$

Etapa 8.2.2

Cancele o fator comum.

$\log_{5} (\frac{81 {(k + 4)}^{4}}{81 \cdot 820125}) = - 3$

Etapa 8.2.3

Reescreva a expressão.

$\log_{5} (\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125}) = - 3$

Etapa 9

Reescreva $\log_{5} (\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125}) = - 3$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{- 3} = \frac{{(k + 4)}^{4}}{820125}$

Etapa 10

Resolva $k$ .

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Etapa 10.1

Reescreva a equação como $\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 5^{- 3}$ .

$\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 5^{- 3}$

Etapa 10.2

Multiplique os dois lados da equação por $820125$ .

$820125 \frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 820125 \cdot 5^{- 3}$

Etapa 10.3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 10.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.3.1.1

Cancele o fator comum de $820125$ .

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Etapa 10.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$820125 \frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 820125 \cdot 5^{- 3}$

Etapa 10.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

${(k + 4)}^{4} = 820125 \cdot 5^{- 3}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1

Simplifique $820125 \cdot 5^{- 3}$ .

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Etapa 10.3.2.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(k + 4)}^{4} = 820125 \cdot \frac{1}{5^{3}}$

Etapa 10.3.2.1.2

Eleve $5$ à potência de $3$ .

${(k + 4)}^{4} = 820125 \cdot \frac{1}{125}$

Etapa 10.3.2.1.3

Cancele o fator comum de $125$ .

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Etapa 10.3.2.1.3.1

Fatore $125$ de $820125$ .

${(k + 4)}^{4} = 125 (6561) \cdot \frac{1}{125}$

Etapa 10.3.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

${(k + 4)}^{4} = 125 \cdot 6561 \cdot \frac{1}{125}$

Etapa 10.3.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

${(k + 4)}^{4} = 6561$

Etapa 10.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$k + 4 = \pm \sqrt[4]{6561}$

Etapa 10.5

Simplifique $\pm \sqrt[4]{6561}$ .

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Etapa 10.5.1

Reescreva $6561$ como $9^{4}$ .

$k + 4 = \pm \sqrt[4]{9^{4}}$

Etapa 10.5.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$k + 4 = \pm 9$

Etapa 10.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 10.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$k + 4 = 9$

Etapa 10.6.2

Mova todos os termos que não contêm $k$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.6.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$k = 9 - 4$

Etapa 10.6.2.2

Subtraia $4$ de $9$ .

$k = 5$

Etapa 10.6.3

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$k + 4 = - 9$

Etapa 10.6.4

Mova todos os termos que não contêm $k$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.6.4.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$k = - 9 - 4$

Etapa 10.6.4.2

Subtraia $4$ de $- 9$ .

$k = - 13$

Etapa 10.6.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$k = 5, - 13$

Etapa 11

Exclua as soluções que não tornam $\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3}{4} \cdot (\log_{5} (405) - \log_{5} (5))$ verdadeira.

$k = 5$