Álgebra Exemplos

$\log (x) + \log (2 - x) < 1$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma igualdade.

$\log (x) + \log (2 - x) = 1$

Etapa 2

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x (2 - x)) = 1$

Etapa 2.1.2

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (x \cdot 2 + x (- x)) = 1$

Etapa 2.1.2.2

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\log (2 \cdot x + x (- x)) = 1$

Etapa 2.1.2.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\log (2 \cdot x - x \cdot x) = 1$

Etapa 2.1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Mova $x$ .

$\log (2 x - (x \cdot x)) = 1$

Etapa 2.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log (2 x - x^{2}) = 1$

Etapa 2.2

Reescreva $\log (2 x - x^{2}) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 2 x - x^{2}$

Etapa 2.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Reescreva a equação como $2 x - x^{2} = 10^{1}$ .

$2 x - x^{2} = 10$

Etapa 2.3.2

Subtraia $10$ dos dois lados da equação.

$2 x - x^{2} - 10 = 0$

Etapa 2.3.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.3.4

Substitua os valores $a = - 1$ , $b = 2$ e $c = - 10$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 10)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot - 10}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 2.3.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 1 \cdot - 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot - 10}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 2.3.5.1.2.2

Multiplique $4$ por $- 10$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 40}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 2.3.5.1.3

Subtraia $40$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 2.3.5.1.4

Reescreva $- 36$ como $- 1 (36)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 2.3.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (36)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 2.3.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 2.3.5.1.7

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 2.3.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 6}{2 \cdot - 1}$

Etapa 2.3.5.1.9

Mova $6$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 6 i}{2 \cdot - 1}$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 6 i}{- 2}$

Etapa 2.3.5.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 6 i}{- 2}$ .

$x = 1 \pm 3 i$

Etapa 2.3.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 1 + 3 i, 1 - 3 i$

Etapa 3

Encontre o domínio de $\log (2 x - x^{2}) - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina o argumento em $\log (2 x - x^{2})$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$2 x - x^{2} > 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$2 x - x^{2} = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore $x$ de $2 x - x^{2}$ .

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Etapa 3.2.2.1

Fatore $x$ de $2 x$ .

$x \cdot 2 - x^{2} = 0$

Etapa 3.2.2.2

Fatore $x$ de $- x^{2}$ .

$x \cdot 2 + x (- x) = 0$

Etapa 3.2.2.3

Fatore $x$ de $x \cdot 2 + x (- x)$ .

$x (2 - x) = 0$

Etapa 3.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 - x = 0$

Etapa 3.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.2.5

Defina $2 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.2.5.1

Defina $2 - x$ como igual a $0$ .

$2 - x = 0$

Etapa 3.2.5.2

Resolva $2 - x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- x = - 2$

Etapa 3.2.5.2.2

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.2.5.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 3.2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.5.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 3.2.5.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 3.2.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.2.2.3.1

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Etapa 3.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $x (2 - x) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2$

Etapa 3.2.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Etapa 3.2.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 3.2.8.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 3.2.8.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$2 (- 2) - {(- 2)}^{2} > 0$

Etapa 3.2.8.1.3

O lado esquerdo $- 8$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 3.2.8.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1$

Etapa 3.2.8.2.2

Substitua $x$ por $1$ na desigualdade original.

$2 (1) - {(1)}^{2} > 0$

Etapa 3.2.8.2.3

O lado esquerdo $1$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 3.2.8.3

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 3.2.8.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$2 (4) - {(4)}^{2} > 0$

Etapa 3.2.8.3.3

O lado esquerdo $- 8$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 3.2.8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadeiro

$x > 2$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadeiro

$x > 2$ Falso

Etapa 3.2.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 < x < 2$

Etapa 3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(0, 2)$

Etapa 4

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Etapa 5

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 5.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\log (- 2) + \log (2 - (- 2)) < 1$

Etapa 5.1.3

Determine se a desigualdade é verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Não é possível resolver a equação, porque ela é indefinida.

$Indefinido$

Etapa 5.1.3.2

O lado esquerdo não tem solução, o que significa que a declaração em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1$

Etapa 5.2.2

Substitua $x$ por $1$ na desigualdade original.

$\log (1) + \log (2 - (1)) < 1$

Etapa 5.2.3

O lado esquerdo $0$ é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 5.3

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 5.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\log (4) + \log (2 - (4)) < 1$

Etapa 5.3.3

Determine se a desigualdade é verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Não é possível resolver a equação, porque ela é indefinida.

$Indefinido$

Etapa 5.3.3.2

O lado esquerdo não tem solução, o que significa que a declaração em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadeiro

$x > 2$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadeiro

$x > 2$ Falso

Etapa 6

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 < x < 2$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$0 < x < 2$

Notação de intervalo:

$(0, 2)$

Etapa 8