Álgebra Exemplos

$\frac{x^{2} - 16}{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \div \frac{x^{2} + 12 x + 32}{x^{2} + 18 x + 80}$

Etapa 1

Para dividir por uma fração, multiplique por seu inverso.

$\frac{x^{2} - 16}{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Etapa 2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4^{2}}{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Etapa 2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Etapa 3

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.1

Fatore $x$ de $x^{3} - 6 x^{2} + 8 x$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x \cdot x^{2} - 6 x^{2} + 8 x} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Etapa 3.1.2

Fatore $x$ de $- 6 x^{2}$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + 8 x} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Etapa 3.1.3

Fatore $x$ de $8 x$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 8} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Etapa 3.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- 6 x)$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x (x^{2} - 6 x) + x \cdot 8} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Etapa 3.1.5

Fatore $x$ de $x (x^{2} - 6 x) + x \cdot 8$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x (x^{2} - 6 x + 8)} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Etapa 3.2

Fatore $x^{2} - 6 x + 8$ usando o método AC.

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Etapa 3.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $8$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 4, - 2$

Etapa 3.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x ((x - 4) (x - 2))} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x (x - 4) (x - 2)} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Etapa 4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

Reescreva $100$ como $10^{2}$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x (x - 4) (x - 2)} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 10^{2}} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Etapa 4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 10$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x (x - 4) (x - 2)} \cdot \frac{2 - x}{(x + 10) (x - 10)} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum de $x - 4$ .

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Etapa 5.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x (x - 4) (x - 2)} \cdot \frac{2 - x}{(x + 10) (x - 10)} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Etapa 5.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x + 4}{x (x - 2)} \cdot \frac{2 - x}{(x + 10) (x - 10)} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Etapa 5.2

Multiplique $\frac{x + 4}{x (x - 2)}$ por $\frac{2 - x}{(x + 10) (x - 10)}$ .

$\frac{(x + 4) (2 - x)}{x (x - 2) ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $2 - x$ e $x - 2$ .

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Etapa 5.3.1

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{(x + 4) (- 1 (- 2) - x)}{x (x - 2) ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Etapa 5.3.2

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(x + 4) (- 1 (- 2) - (x))}{x (x - 2) ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Etapa 5.3.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- 2) - (x)$ .

$\frac{(x + 4) (- 1 (- 2 + x))}{x (x - 2) ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Etapa 5.3.4

Reordene os termos.

$\frac{(x + 4) (- 1 (x - 2))}{x (x - 2) ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Etapa 5.3.5

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 4) (- 1 (x - 2))}{x (x - 2) ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Etapa 5.3.6

Reescreva a expressão.

$\frac{(x + 4) \cdot (- 1)}{x ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Etapa 6

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.1

Reescreva.

$\frac{(x + 4) \cdot - 1}{x (x - 2) ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Etapa 6.2

Reescreva.

$\frac{(x + 4) \cdot - 1}{x^{1} ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Etapa 6.3

Simplifique.

$\frac{(x + 4) \cdot - 1}{x ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Etapa 6.4

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{(x + 4) \cdot - 1}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Etapa 7

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $x + 4$ .

$\frac{- 1 \cdot (x + 4)}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Etapa 7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x + 4}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Etapa 8

Fatore $x^{2} + 18 x + 80$ usando o método AC.

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Etapa 8.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $80$ e cuja soma é $18$ .

$8, 10$

Etapa 8.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- \frac{x + 4}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{x^{2} + 12 x + 32}$

Etapa 9

Fatore $x^{2} + 12 x + 32$ usando o método AC.

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Etapa 9.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $32$ e cuja soma é $12$ .

$4, 8$

Etapa 9.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- \frac{x + 4}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{(x + 4) (x + 8)}$

Etapa 10

Simplifique os termos.

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Etapa 10.1

Cancele o fator comum de $x + 4$ .

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Etapa 10.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x + 4}{x (x + 10) (x - 10)}$ para o numerador.

$\frac{- (x + 4)}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{(x + 4) (x + 8)}$

Etapa 10.1.2

Fatore $x + 4$ de $- (x + 4)$ .

$\frac{(x + 4) \cdot - 1}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{(x + 4) (x + 8)}$

Etapa 10.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 4) \cdot - 1}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{(x + 4) (x + 8)}$

Etapa 10.1.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{x + 8}$

Etapa 10.2

Cancele o fator comum de $x + 10$ .

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Etapa 10.2.1

Fatore $x + 10$ de $x (x + 10) (x - 10)$ .

$\frac{- 1}{(x + 10) (x (x - 10))} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{x + 8}$

Etapa 10.2.2

Fatore $x + 10$ de $(x + 8) (x + 10)$ .

$\frac{- 1}{(x + 10) (x (x - 10))} \cdot \frac{(x + 10) (x + 8)}{x + 8}$

Etapa 10.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{(x + 10) (x (x - 10))} \cdot \frac{(x + 10) (x + 8)}{x + 8}$

Etapa 10.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{x (x - 10)} \cdot \frac{x + 8}{x + 8}$

Etapa 10.3

Multiplique $\frac{- 1}{x (x - 10)}$ por $\frac{x + 8}{x + 8}$ .

$\frac{- (x + 8)}{x (x - 10) (x + 8)}$

Etapa 10.4

Cancele o fator comum de $x + 8$ .

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Etapa 10.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- (x + 8)}{x (x - 10) (x + 8)}$

Etapa 10.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{x (x - 10)}$

Etapa 10.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{x (x - 10)}$