Álgebra Exemplos

$\frac{- \sin^{2} (θ) + \sec^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}{\tan (θ)}$

Etapa 1

Simplifique com fatoração.

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Etapa 1.1

Mova $- \cos^{2} (θ)$ .

$\frac{- \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) + \sec^{2} (θ)}{\tan (θ)}$

Etapa 1.2

Fatore $- 1$ de $- \sin^{2} (θ)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (θ)) - \cos^{2} (θ) + \sec^{2} (θ)}{\tan (θ)}$

Etapa 1.3

Fatore $- 1$ de $- \cos^{2} (θ)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (θ)) - (\cos^{2} (θ)) + \sec^{2} (θ)}{\tan (θ)}$

Etapa 1.4

Fatore $- 1$ de $- (\sin^{2} (θ)) - (\cos^{2} (θ))$ .

$\frac{- (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) + \sec^{2} (θ)}{\tan (θ)}$

Etapa 2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{- 1 \cdot 1 + \sec^{2} (θ)}{\tan (θ)}$

Etapa 3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{- 1^{2} + \sec^{2} (θ)}{\tan (θ)}$

Etapa 3.2

Reordene $- 1^{2}$ e $\sec^{2} (θ)$ .

$\frac{\sec^{2} (θ) - 1^{2}}{\tan (θ)}$

Etapa 3.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \sec (θ)$ e $b = 1$ .

$\frac{(\sec (θ) + 1) (\sec (θ) - 1)}{\tan (θ)}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Reescreva $\sec (θ)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{(\frac{1}{\cos (θ)} + 1) (\sec (θ) - 1)}{\tan (θ)}$

Etapa 3.4.2

Reescreva $\sec (θ)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{(\frac{1}{\cos (θ)} + 1) (\frac{1}{\cos (θ)} - 1)}{\tan (θ)}$

Etapa 4

Reescreva $\tan (θ)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{(\frac{1}{\cos (θ)} + 1) (\frac{1}{\cos (θ)} - 1)}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Etapa 5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(\frac{1}{\cos (θ)} + 1) (\frac{1}{\cos (θ)} - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 6

Expanda $(\frac{1}{\cos (θ)} + 1) (\frac{1}{\cos (θ)} - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(\frac{1}{\cos (θ)} (\frac{1}{\cos (θ)} - 1) + 1 (\frac{1}{\cos (θ)} - 1)) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(\frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)} \cdot - 1 + 1 (\frac{1}{\cos (θ)} - 1)) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(\frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (θ)} + 1 \cdot - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.1

Multiplique $\frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$ .

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Etapa 7.1.1.1

Multiplique $\frac{1}{\cos (θ)}$ por $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$(\frac{1}{\cos (θ) \cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (θ)} + 1 \cdot - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 7.1.1.2

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{1} (θ) \cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (θ)} + 1 \cdot - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 7.1.1.3

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (θ)} + 1 \cdot - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 7.1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(\frac{1}{{\cos (θ)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (θ)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (θ)} + 1 \cdot - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 7.1.1.5

Some $1$ e $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (θ)} + 1 \cdot - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 7.1.2

Combine $\frac{1}{\cos (θ)}$ e $- 1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (θ)} + \frac{- 1}{\cos (θ)} + 1 \frac{1}{\cos (θ)} + 1 \cdot - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 7.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$(\frac{1}{\cos^{2} (θ)} - \frac{1}{\cos (θ)} + 1 \frac{1}{\cos (θ)} + 1 \cdot - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 7.1.4

Multiplique $\frac{1}{\cos (θ)}$ por $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (θ)} - \frac{1}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)} + 1 \cdot - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 7.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (θ)} - \frac{1}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)} - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 7.2

Some $- \frac{1}{\cos (θ)}$ e $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (θ)} + 0 - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 7.3

Some $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ e $0$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (θ)} - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 8

Simplifique os termos.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - 1 \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 8.2

Combine.

$\frac{1 \cos (θ)}{\cos^{2} (θ) \sin (θ)} - 1 \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 8.3

Reescreva $- 1 \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ como $- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{1 \cos (θ)}{\cos^{2} (θ) \sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 8.4

Cancele o fator comum de $\cos (θ)$ e $\cos^{2} (θ)$ .

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Etapa 8.4.1

Fatore $\cos (θ)$ de $1 \cos (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos^{2} (θ) \sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 8.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.4.2.1

Fatore $\cos (θ)$ de $\cos^{2} (θ) \sin (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos (θ) (\cos (θ) \sin (θ))} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 8.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos (θ) (\cos (θ) \sin (θ))} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 8.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 9

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1

Separe as frações.

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 9.2

Converta de $\frac{1}{\cos (θ)}$ em $\sec (θ)$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} \sec (θ) - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 9.3

Converta de $\frac{1}{\sin (θ)}$ em $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) \sec (θ) - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 9.4

Converta de $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ em $\cot (θ)$ .

$\csc (θ) \sec (θ) - \cot (θ)$