Álgebra Exemplos

$\sqrt{2 x + y} < \sqrt{3 x - y - 1}$

Etapa 1

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${\sqrt{2 x + y}}^{2} < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Etapa 1.2

Simplifique cada lado da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 x + y}$ como ${(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Etapa 1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Simplifique ${({(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Etapa 1.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(2 x + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Etapa 1.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(2 x + y)}^{1} < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Etapa 1.2.2.1.2

Simplifique.

$2 x + y < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Etapa 1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Reescreva ${\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$ como $3 x - y - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3 x - y - 1}$ como ${(3 x - y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x + y < {({(3 x - y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 1.2.3.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x + y < {(3 x - y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 1.2.3.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 x + y < {(3 x - y - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 1.2.3.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$2 x + y < {(3 x - y - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 1.2.3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$2 x + y < {(3 x - y - 1)}^{1}$

Etapa 1.2.3.1.5

Simplifique.

$2 x + y < 3 x - y - 1$

Etapa 1.3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Mova todos os termos que contêm $y$ para o lado esquerdo da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Some $y$ aos dois lados da desigualdade.

$2 x + y + y < 3 x - 1$

Etapa 1.3.1.2

Some $y$ e $y$ .

$2 x + 2 y < 3 x - 1$

Etapa 1.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da desigualdade.

$2 y < 3 x - 1 - 2 x$

Etapa 1.3.2.2

Subtraia $2 x$ de $3 x$ .

$2 y < x - 1$

Etapa 1.3.3

Divida cada termo em $2 y < x - 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Divida cada termo em $2 y < x - 1$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} < \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 1.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} < \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 1.3.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y < \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 1.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y < \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 2

Encontre a inclinação e a intersecção com o eixo y da linha limítrofe.

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Etapa 2.1

Reescreva na forma reduzida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

A forma reduzida é $y = m x + b$ , em que $m$ é a inclinação e $b$ é a intersecção com o eixo y.

$y = m x + b$

Etapa 2.1.2

Reordene os termos.

$y < \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$

Etapa 2.2

Use a forma reduzida para encontrar a inclinação e a intersecção com o eixo y.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Encontre os valores de $m$ e $b$ usando a forma $y = m x + b$ .

$m = \frac{1}{2}$

$b = - \frac{1}{2}$

Etapa 2.2.2

A inclinação da linha é o valor de $m$ , e a intersecção com o eixo y é o valor de $b$ .

Inclinação: $\frac{1}{2}$

intersecção com o eixo y: $(0, - \frac{1}{2})$

Inclinação: $\frac{1}{2}$

intersecção com o eixo y: $(0, - \frac{1}{2})$

Inclinação: $\frac{1}{2}$

intersecção com o eixo y: $(0, - \frac{1}{2})$

Etapa 3

Represente uma linha tracejada em um gráfico e, depois, sombreie a área abaixo da linha limítrofe, pois $y$ é menor do que $\frac{x}{2} - \frac{1}{2}$ .

$y < \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 4