Álgebra Exemplos

$\frac{\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}}{\frac{14 x^{2} - 22 x - 12}{x^{2} - 25}}$

Etapa 1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{x^{2} - 25}{14 x^{2} - 22 x - 12}$

Etapa 2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{x^{2} - 5^{2}}{14 x^{2} - 22 x - 12}$

Etapa 2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 5$ .

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{14 x^{2} - 22 x - 12}$

Etapa 3

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.1

Fatore $2$ de $14 x^{2} - 22 x - 12$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $2$ de $14 x^{2}$ .

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2}) - 22 x - 12}$

Etapa 3.1.2

Fatore $2$ de $- 22 x$ .

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2}) + 2 (- 11 x) - 12}$

Etapa 3.1.3

Fatore $2$ de $- 12$ .

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2}) + 2 (- 11 x) + 2 (- 6)}$

Etapa 3.1.4

Fatore $2$ de $2 (7 x^{2}) + 2 (- 11 x)$ .

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2} - 11 x) + 2 (- 6)}$

Etapa 3.1.5

Fatore $2$ de $2 (7 x^{2} - 11 x) + 2 (- 6)$ .

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2} - 11 x - 6)}$

Etapa 3.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 7 \cdot - 6 = - 42$ e cuja soma é $b = - 11$ .

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Etapa 3.2.1.1

Fatore $- 11$ de $- 11 x$ .

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2} - 11 (x) - 6)}$

Etapa 3.2.1.2

Reescreva $- 11$ como $3$ mais $- 14$

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2} + (3 - 14) x - 6)}$

Etapa 3.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2} + 3 x - 14 x - 6)}$

Etapa 3.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 ((7 x^{2} + 3 x) - 14 x - 6)}$

Etapa 3.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (x (7 x + 3) - 2 (7 x + 3))}$

Etapa 3.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $7 x + 3$ .

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 ((7 x + 3) (x - 2))}$

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Fatore $x$ de $x^{2} + 5 x$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$(\frac{3}{x \cdot x + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Etapa 4.1.2

Fatore $x$ de $5 x$ .

$(\frac{3}{x \cdot x + x \cdot 5} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Etapa 4.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 5$ .

$(\frac{3}{x (x + 5)} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Etapa 4.2

Fatore $x^{2} + 6 x + 5$ usando o método AC.

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Etapa 4.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $5$ e cuja soma é $6$ .

$1, 5$

Etapa 4.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(\frac{3}{x (x + 5)} + \frac{4}{(x + 1) (x + 5)}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Etapa 5

Para escrever $\frac{3}{x (x + 5)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$(\frac{3}{x (x + 5)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{4}{(x + 1) (x + 5)}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Etapa 6

Para escrever $\frac{4}{(x + 1) (x + 5)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{3}{x (x + 5)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{4}{(x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{x}{x}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Etapa 7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x (x + 5) (x + 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{3}{x (x + 5)}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$(\frac{3 (x + 1)}{x (x + 5) (x + 1)} + \frac{4}{(x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{x}{x}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Etapa 7.2

Multiplique $\frac{4}{(x + 1) (x + 5)}$ por $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{3 (x + 1)}{x (x + 5) (x + 1)} + \frac{4 x}{(x + 1) (x + 5) x}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Etapa 7.3

Reordene os fatores de $x (x + 5) (x + 1)$ .

$(\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1) (x + 5)} + \frac{4 x}{(x + 1) (x + 5) x}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Etapa 7.4

Reordene os fatores de $(x + 1) (x + 5) x$ .

$(\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1) (x + 5)} + \frac{4 x}{x (x + 1) (x + 5)}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Etapa 8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 (x + 1) + 4 x}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Etapa 9

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x + 3 \cdot 1 + 4 x}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Etapa 9.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{3 x + 3 + 4 x}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Etapa 9.3

Some $3 x$ e $4 x$ .

$\frac{7 x + 3}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Etapa 10

Simplifique os termos.

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Etapa 10.1

Cancele o fator comum de $7 x + 3$ .

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Etapa 10.1.1

Fatore $7 x + 3$ de $2 (7 x + 3) (x - 2)$ .

$\frac{7 x + 3}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{(7 x + 3) (2 (x - 2))}$

Etapa 10.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{7 x + 3}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{(7 x + 3) (2 (x - 2))}$

Etapa 10.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (x - 2)}$

Etapa 10.2

Cancele o fator comum de $x + 5$ .

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Etapa 10.2.1

Fatore $x + 5$ de $x (x + 1) (x + 5)$ .

$\frac{1}{(x + 5) (x (x + 1))} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (x - 2)}$

Etapa 10.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(x + 5) (x (x + 1))} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (x - 2)}$

Etapa 10.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x (x + 1)} \cdot \frac{x - 5}{2 (x - 2)}$

Etapa 10.3

Multiplique $\frac{1}{x (x + 1)}$ por $\frac{x - 5}{2 (x - 2)}$ .

$\frac{x - 5}{x (x + 1) (2 (x - 2))}$

Etapa 10.4

Mova $2$ para a esquerda de $x (x + 1)$ .

$\frac{x - 5}{2 x (x + 1) (x - 2)}$