Álgebra Exemplos

$\tan (x) > - 1$

Etapa 1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x > \arctan (- 1)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

O valor exato de $\arctan (- 1)$ é $- \frac{π}{4}$ .

$x > - \frac{π}{4}$

Etapa 3

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Etapa 4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 4.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Etapa 4.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 6

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 6.1

Some $π$ com $- \frac{π}{4}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Etapa 6.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 6.3

Combine frações.

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Etapa 6.3.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.4.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 6.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Etapa 6.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 7

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Consolide as respostas.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Encontre o domínio de $\tan (x) + 1$ .

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Etapa 9.1

Defina o argumento em $\tan (x)$ como igual a $\frac{π}{2} + π n$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}$

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{4}$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\tan (2) > - 1$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $- 2.18503986$ não é maior do que o lado direito $- 1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $\frac{3 π}{4} < x < \frac{3 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{3 π}{4} < x < \frac{3 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\tan (4) > - 1$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $1.15782128$ é maior do que o lado direito $- 1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 5$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $5$ na desigualdade original.

$\tan (5) > - 1$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $- 3.380515$ não é maior do que o lado direito $- 1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 11.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}$ Falso

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{3 π}{2}$ Verdadeiro

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{4}$ Falso

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}$ Falso

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{3 π}{2}$ Verdadeiro

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{4}$ Falso

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$\frac{3 π}{4} + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13