Álgebra Exemplos

$(x^{2} + b x - 2) (x + 3) = x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6$

Etapa 1

Divida cada termo em $(x^{2} + b x - 2) (x + 3) = x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6$ por $x + 3$ e simplifique.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $(x^{2} + b x - 2) (x + 3) = x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6$ por $x + 3$ .

$\frac{(x^{2} + b x - 2) (x + 3)}{x + 3} = \frac{x^{3}}{x + 3} + \frac{6 x^{2}}{x + 3} + \frac{7 x}{x + 3} + \frac{- 6}{x + 3}$

Etapa 1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum de $x + 3$ .

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Etapa 1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x^{2} + b x - 2) (x + 3)}{x + 3} = \frac{x^{3}}{x + 3} + \frac{6 x^{2}}{x + 3} + \frac{7 x}{x + 3} + \frac{- 6}{x + 3}$

Etapa 1.2.1.2

Divida $x^{2} + b x - 2$ por $1$ .

$x^{2} + b x - 2 = \frac{x^{3}}{x + 3} + \frac{6 x^{2}}{x + 3} + \frac{7 x}{x + 3} + \frac{- 6}{x + 3}$

Etapa 1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{2} + b x - 2 = \frac{x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6}{x + 3}$

Etapa 2

Mova todos os termos que não contêm $b$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$b x - 2 = \frac{x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6}{x + 3} - x^{2}$

Etapa 2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$b x = \frac{x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6}{x + 3} - x^{2} + 2$

Etapa 2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1

Divida a fração $\frac{x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6}{x + 3}$ em duas frações.

$b x = \frac{x^{3} + 6 x^{2} + 7 x}{x + 3} + \frac{- 6}{x + 3} - x^{2} + 2$

Etapa 2.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.2.1

Fatore $x$ de $x^{3} + 6 x^{2} + 7 x$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$b x = \frac{x \cdot x^{2} + 6 x^{2} + 7 x}{x + 3} + \frac{- 6}{x + 3} - x^{2} + 2$

Etapa 2.3.2.1.2

Fatore $x$ de $6 x^{2}$ .

$b x = \frac{x \cdot x^{2} + x (6 x) + 7 x}{x + 3} + \frac{- 6}{x + 3} - x^{2} + 2$

Etapa 2.3.2.1.3

Fatore $x$ de $7 x$ .

$b x = \frac{x \cdot x^{2} + x (6 x) + x \cdot 7}{x + 3} + \frac{- 6}{x + 3} - x^{2} + 2$

Etapa 2.3.2.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x (6 x)$ .

$b x = \frac{x (x^{2} + 6 x) + x \cdot 7}{x + 3} + \frac{- 6}{x + 3} - x^{2} + 2$

Etapa 2.3.2.1.5

Fatore $x$ de $x (x^{2} + 6 x) + x \cdot 7$ .

$b x = \frac{x (x^{2} + 6 x + 7)}{x + 3} + \frac{- 6}{x + 3} - x^{2} + 2$

Etapa 2.3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$b x = \frac{x (x^{2} + 6 x + 7)}{x + 3} - \frac{6}{x + 3} - x^{2} + 2$

Etapa 3

Divida cada termo em $b x = \frac{x (x^{2} + 6 x + 7)}{x + 3} - \frac{6}{x + 3} - x^{2} + 2$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $b x = \frac{x (x^{2} + 6 x + 7)}{x + 3} - \frac{6}{x + 3} - x^{2} + 2$ por $x$ .

$\frac{b x}{x} = \frac{\frac{x (x^{2} + 6 x + 7)}{x + 3}}{x} + \frac{- \frac{6}{x + 3}}{x} + \frac{- x^{2}}{x} + \frac{2}{x}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{b x}{x} = \frac{\frac{x (x^{2} + 6 x + 7)}{x + 3}}{x} + \frac{- \frac{6}{x + 3}}{x} + \frac{- x^{2}}{x} + \frac{2}{x}$

Etapa 3.2.1.2

Divida $b$ por $1$ .

$b = \frac{\frac{x (x^{2} + 6 x + 7)}{x + 3}}{x} + \frac{- \frac{6}{x + 3}}{x} + \frac{- x^{2}}{x} + \frac{2}{x}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Simplifique os termos.

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Etapa 3.3.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$b = \frac{\frac{x (x^{2} + 6 x + 7)}{x + 3} - \frac{6}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Etapa 3.3.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$b = \frac{\frac{x (x^{2} + 6 x + 7) - 6}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$b = \frac{\frac{x \cdot x^{2} + x (6 x) + x \cdot 7 - 6}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique.

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Etapa 3.3.2.1.2.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.2.1.2.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1.2.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$b = \frac{\frac{x^{1} x^{2} + x (6 x) + x \cdot 7 - 6}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Etapa 3.3.2.1.2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$b = \frac{\frac{x^{1 + 2} + x (6 x) + x \cdot 7 - 6}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Etapa 3.3.2.1.2.1.2

Some $1$ e $2$ .

$b = \frac{\frac{x^{3} + x (6 x) + x \cdot 7 - 6}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Etapa 3.3.2.1.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$b = \frac{\frac{x^{3} + 6 x \cdot x + x \cdot 7 - 6}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Etapa 3.3.2.1.2.3

Mova $7$ para a esquerda de $x$ .

$b = \frac{\frac{x^{3} + 6 x \cdot x + 7 \cdot x - 6}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Etapa 3.3.2.1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.2.1.3.1

Mova $x$ .

$b = \frac{\frac{x^{3} + 6 (x \cdot x) + 7 \cdot x - 6}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Etapa 3.3.2.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$b = \frac{\frac{x^{3} + 6 x^{2} + 7 \cdot x - 6}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

$b = \frac{\frac{x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Etapa 3.3.2.1.4

Fatore $x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 3.3.2.1.4.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Etapa 3.3.2.1.4.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Etapa 3.3.2.1.4.3

Substitua $- 3$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 3$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 3.3.2.1.4.3.1

Substitua $- 3$ no polinômio.

${(- 3)}^{3} + 6 {(- 3)}^{2} + 7 \cdot - 3 - 6$

Etapa 3.3.2.1.4.3.2

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$- 27 + 6 {(- 3)}^{2} + 7 \cdot - 3 - 6$

Etapa 3.3.2.1.4.3.3

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$- 27 + 6 \cdot 9 + 7 \cdot - 3 - 6$

Etapa 3.3.2.1.4.3.4

Multiplique $6$ por $9$ .

$- 27 + 54 + 7 \cdot - 3 - 6$

Etapa 3.3.2.1.4.3.5

Some $- 27$ e $54$ .

$27 + 7 \cdot - 3 - 6$

Etapa 3.3.2.1.4.3.6

Multiplique $7$ por $- 3$ .

$27 - 21 - 6$

Etapa 3.3.2.1.4.3.7

Subtraia $21$ de $27$ .

$6 - 6$

Etapa 3.3.2.1.4.3.8

Subtraia $6$ de $6$ .

$0$

Etapa 3.3.2.1.4.4

Como $- 3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6}{x + 3}$

Etapa 3.3.2.1.4.5

Divida $x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6$ por $x + 3$ .

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Etapa 3.3.2.1.4.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$7 x$

$6$

Etapa 3.3.2.1.4.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$

Etapa 3.3.2.1.4.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.4.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.4.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.4.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$

Etapa 3.3.2.1.4.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$

Etapa 3.3.2.1.4.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$

Etapa 3.3.2.1.4.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x^{2} + 9 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$9 x$

Etapa 3.3.2.1.4.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$2 x$

Etapa 3.3.2.1.4.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$2 x$	-	$6$

Etapa 3.3.2.1.4.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$2 x$	-	$6$

Etapa 3.3.2.1.4.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$2 x$	-	$6$
							-	$2 x$	-	$6$

Etapa 3.3.2.1.4.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x - 6$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$2 x$	-	$6$
							+	$2 x$	+	$6$

Etapa 3.3.2.1.4.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$2 x$	-	$6$
							+	$2 x$	+	$6$
										$0$

Etapa 3.3.2.1.4.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} + 3 x - 2$

Etapa 3.3.2.1.4.6

Escreva $x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6$ como um conjunto de fatores.

$b = \frac{\frac{(x + 3) (x^{2} + 3 x - 2)}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Etapa 3.3.2.2

Cancele o fator comum de $x + 3$ .

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Etapa 3.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$b = \frac{\frac{(x + 3) (x^{2} + 3 x - 2)}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Etapa 3.3.2.2.2

Divida $x^{2} + 3 x - 2$ por $1$ .

$b = \frac{x^{2} + 3 x - 2 - x^{2} + 2}{x}$

Etapa 3.3.3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.3.3.1

Combine os termos opostos em $x^{2} + 3 x - 2 - x^{2} + 2$ .

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Etapa 3.3.3.1.1

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$b = \frac{3 x - 2 + 0 + 2}{x}$

Etapa 3.3.3.1.2

Some $3 x - 2$ e $0$ .

$b = \frac{3 x - 2 + 2}{x}$

Etapa 3.3.3.1.3

Some $- 2$ e $2$ .

$b = \frac{3 x + 0}{x}$

Etapa 3.3.3.1.4

Some $3 x$ e $0$ .

$b = \frac{3 x}{x}$

Etapa 3.3.3.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$b = \frac{3 x}{x}$

Etapa 3.3.3.2.2

Divida $3$ por $1$ .

$b = 3$