Álgebra Exemplos

$2 \cdot \ln (a + 3) = \frac{1}{4} \cdot \ln (16) + \ln (a + 7)$

Etapa 1

Simplifique as expressões na equação.

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Etapa 1.1

Simplifique o lado esquerdo.

$2 \ln (a + 3) = \frac{1}{4} \ln (16) + \ln (a + 7)$

Etapa 1.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $\ln (16)$ .

$2 \ln (a + 3) = \frac{\ln (16)}{4} + \ln (a + 7)$

Etapa 2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Simplifique $2 \ln (a + 3)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \frac{\ln (16)}{4} + \ln (a + 7)$

Etapa 3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1

Simplifique $\frac{\ln (16)}{4} + \ln (a + 7)$ .

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Etapa 3.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1.1

Reescreva $\ln (16)$ como $\ln (2^{4})$ .

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \frac{\ln (2^{4})}{4} + \ln (a + 7)$

Etapa 3.1.1.2

Expanda $\ln (2^{4})$ movendo $4$ para fora do logaritmo.

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \frac{4 \ln (2)}{4} + \ln (a + 7)$

Etapa 3.1.1.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \frac{4 \ln (2)}{4} + \ln (a + 7)$

Etapa 3.1.1.3.2

Divida $\ln (2)$ por $1$ .

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \ln (2) + \ln (a + 7)$

Etapa 3.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \ln (2 (a + 7))$

Etapa 3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \ln (2 a + 2 \cdot 7)$

Etapa 3.1.4

Multiplique $2$ por $7$ .

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \ln (2 a + 14)$

Etapa 4

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

${(a + 3)}^{2} = 2 a + 14$

Etapa 5

Resolva $a$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que contêm $a$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $2 a$ dos dois lados da equação.

${(a + 3)}^{2} - 2 a = 14$

Etapa 5.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.2.1

Reescreva ${(a + 3)}^{2}$ como $(a + 3) (a + 3)$ .

$(a + 3) (a + 3) - 2 a = 14$

Etapa 5.1.2.2

Expanda $(a + 3) (a + 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.1.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$a (a + 3) + 3 (a + 3) - 2 a = 14$

Etapa 5.1.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$a \cdot a + a \cdot 3 + 3 (a + 3) - 2 a = 14$

Etapa 5.1.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$a \cdot a + a \cdot 3 + 3 a + 3 \cdot 3 - 2 a = 14$

Etapa 5.1.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.2.3.1.1

Multiplique $a$ por $a$ .

$a^{2} + a \cdot 3 + 3 a + 3 \cdot 3 - 2 a = 14$

Etapa 5.1.2.3.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $a$ .

$a^{2} + 3 \cdot a + 3 a + 3 \cdot 3 - 2 a = 14$

Etapa 5.1.2.3.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$a^{2} + 3 a + 3 a + 9 - 2 a = 14$

Etapa 5.1.2.3.2

Some $3 a$ e $3 a$ .

$a^{2} + 6 a + 9 - 2 a = 14$

Etapa 5.1.3

Subtraia $2 a$ de $6 a$ .

$a^{2} + 4 a + 9 = 14$

Etapa 5.2

Subtraia $14$ dos dois lados da equação.

$a^{2} + 4 a + 9 - 14 = 0$

Etapa 5.3

Subtraia $14$ de $9$ .

$a^{2} + 4 a - 5 = 0$

Etapa 5.4

Fatore $a^{2} + 4 a - 5$ usando o método AC.

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Etapa 5.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 5$ e cuja soma é $4$ .

$- 1, 5$

Etapa 5.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(a - 1) (a + 5) = 0$

Etapa 5.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$a - 1 = 0$

$a + 5 = 0$

Etapa 5.6

Defina $a - 1$ como igual a $0$ e resolva para $a$ .

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Etapa 5.6.1

Defina $a - 1$ como igual a $0$ .

$a - 1 = 0$

Etapa 5.6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$a = 1$

Etapa 5.7

Defina $a + 5$ como igual a $0$ e resolva para $a$ .

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Etapa 5.7.1

Defina $a + 5$ como igual a $0$ .

$a + 5 = 0$

Etapa 5.7.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$a = - 5$

Etapa 5.8

A solução final são todos os valores que tornam $(a - 1) (a + 5) = 0$ verdadeiro.

$a = 1, - 5$

Etapa 6

Exclua as soluções que não tornam $2 \cdot \ln (a + 3) = \frac{1}{4} \cdot \ln (16) + \ln (a + 7)$ verdadeira.

$a = 1$