Álgebra Exemplos

$(x - 4) (3 x + 1) < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Etapa 1

Simplifique $(x - 4) (3 x + 1)$ .

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Etapa 1.1

Reescreva.

$0 + 0 + (x - 4) (3 x + 1) < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Etapa 1.2

Simplifique somando os zeros.

$(x - 4) (3 x + 1) < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Etapa 1.3

Expanda $(x - 4) (3 x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (3 x + 1) - 4 (3 x + 1) < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x (3 x) + x \cdot 1 - 4 (3 x + 1) < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Etapa 1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x (3 x) + x \cdot 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot 1 < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Etapa 1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 x \cdot x + x \cdot 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot 1 < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Etapa 1.4.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.4.1.2.1

Mova $x$ .

$3 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot 1 < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Etapa 1.4.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$3 x^{2} + x \cdot 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot 1 < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Etapa 1.4.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$3 x^{2} + x - 4 (3 x) - 4 \cdot 1 < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Etapa 1.4.1.4

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$3 x^{2} + x - 12 x - 4 \cdot 1 < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Etapa 1.4.1.5

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$3 x^{2} + x - 12 x - 4 < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Etapa 1.4.2

Subtraia $12 x$ de $x$ .

$3 x^{2} - 11 x - 4 < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Etapa 2

Simplifique $(2 x - 6) (x - 2) + 4$ .

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Expanda $(2 x - 6) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x (x - 2) - 6 (x - 2) + 4$

Etapa 2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 6 (x - 2) + 4$

Etapa 2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 6 x - 6 \cdot - 2 + 4$

Etapa 2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.2.1.1.1

Mova $x$ .

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 6 x - 6 \cdot - 2 + 4$

Etapa 2.1.2.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 6 x - 6 \cdot - 2 + 4$

Etapa 2.1.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x^{2} - 4 x - 6 x - 6 \cdot - 2 + 4$

Etapa 2.1.2.1.3

Multiplique $- 6$ por $- 2$ .

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x^{2} - 4 x - 6 x + 12 + 4$

Etapa 2.1.2.2

Subtraia $6 x$ de $- 4 x$ .

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x^{2} - 10 x + 12 + 4$

Etapa 2.2

Some $12$ e $4$ .

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x^{2} - 10 x + 16$

Etapa 3

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da desigualdade.

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Etapa 3.1

Subtraia $2 x^{2}$ dos dois lados da desigualdade.

$3 x^{2} - 11 x - 4 - 2 x^{2} < - 10 x + 16$

Etapa 3.2

Some $10 x$ aos dois lados da desigualdade.

$3 x^{2} - 11 x - 4 - 2 x^{2} + 10 x < 16$

Etapa 3.3

Subtraia $2 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$x^{2} - 11 x - 4 + 10 x < 16$

Etapa 3.4

Some $- 11 x$ e $10 x$ .

$x^{2} - x - 4 < 16$

Etapa 4

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} - x - 4 = 16$

Etapa 5

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - x - 4 - 16 = 0$

Etapa 6

Subtraia $16$ de $- 4$ .

$x^{2} - x - 20 = 0$

Etapa 7

Fatore $x^{2} - x - 20$ usando o método AC.

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Etapa 7.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 20$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 5, 4$

Etapa 7.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 5) (x + 4) = 0$

Etapa 8

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 9

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 9.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 9.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 10

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 10.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 11

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 5) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, - 4$

Etapa 12

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 4$

$- 4 < x < 5$

$x > 5$

Etapa 13

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 13.1

Teste um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 13.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$((- 6) - 4) (3 (- 6) + 1) < (2 (- 6) - 6) ((- 6) - 2) + 4$

Etapa 13.1.3

O lado esquerdo $170$ não é menor do que o lado direito $148$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 13.2

Teste um valor no intervalo $- 4 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 4 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 13.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$((0) - 4) (3 (0) + 1) < (2 (0) - 6) ((0) - 2) + 4$

Etapa 13.2.3

O lado esquerdo $- 4$ é menor do que o lado direito $16$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 13.3

Teste um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 13.3.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

$((8) - 4) (3 (8) + 1) < (2 (8) - 6) ((8) - 2) + 4$

Etapa 13.3.3

O lado esquerdo $100$ não é menor do que o lado direito $64$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 13.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 5$ Verdadeiro

$x > 5$ Falso

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 5$ Verdadeiro

$x > 5$ Falso

Etapa 14

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 4 < x < 5$

Etapa 15

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$- 4 < x < 5$

Notação de intervalo:

$(- 4, 5)$

Etapa 16