Álgebra Exemplos

$\frac{\csc^{2} (x)}{4} = 4 \sin^{2} (x)$

Etapa 1

Multiplique cada termo em $\frac{\csc^{2} (x)}{4} = 4 \sin^{2} (x)$ por $\frac{4}{\csc^{2} (x)}$ para eliminar as frações.

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Etapa 1.1

Multiplique cada termo em $\frac{\csc^{2} (x)}{4} = 4 \sin^{2} (x)$ por $\frac{4}{\csc^{2} (x)}$ .

$\frac{\csc^{2} (x)}{4} \cdot \frac{4}{\csc^{2} (x)} = 4 \sin^{2} (x) \frac{4}{\csc^{2} (x)}$

Etapa 1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.1

Combine.

$\frac{\csc^{2} (x) \cdot 4}{4 \csc^{2} (x)} = 4 \sin^{2} (x) \frac{4}{\csc^{2} (x)}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum de $\csc^{2} (x)$ .

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Etapa 1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\csc^{2} (x) \cdot 4}{4 \csc^{2} (x)} = 4 \sin^{2} (x) \frac{4}{\csc^{2} (x)}$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{4} = 4 \sin^{2} (x) \frac{4}{\csc^{2} (x)}$

Etapa 1.2.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{4} = 4 \sin^{2} (x) \frac{4}{\csc^{2} (x)}$

Etapa 1.2.3.2

Reescreva a expressão.

$1 = 4 \sin^{2} (x) \frac{4}{\csc^{2} (x)}$

Etapa 1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.3.1.1

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$1 = 4 \sin^{2} (x) \frac{4}{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}$

Etapa 1.3.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$1 = 4 \sin^{2} (x) \frac{4}{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}$

Etapa 1.3.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 = 4 \sin^{2} (x) \frac{4}{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}$

Etapa 1.3.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 = 4 \sin^{2} (x) (4 \sin^{2} (x))$

Etapa 1.3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = 4 \cdot 4 \sin^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Etapa 1.3.4

Multiplique $\sin^{2} (x)$ por $\sin^{2} (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.4.1

Mova $\sin^{2} (x)$ .

$1 = 4 \cdot 4 (\sin^{2} (x) \sin^{2} (x))$

Etapa 1.3.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 = 4 \cdot 4 {\sin (x)}^{2 + 2}$

Etapa 1.3.4.3

Some $2$ e $2$ .

$1 = 4 \cdot 4 \sin^{4} (x)$

Etapa 1.3.5

Multiplique $4$ por $4$ .

$1 = 16 \sin^{4} (x)$

Etapa 2

Reescreva a equação como $16 \sin^{4} (x) = 1$ .

$16 \sin^{4} (x) = 1$

Etapa 3

Divida cada termo em $16 \sin^{4} (x) = 1$ por $16$ e simplifique.

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $16 \sin^{4} (x) = 1$ por $16$ .

$\frac{16 \sin^{4} (x)}{16} = \frac{1}{16}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $16$ .

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{16 \sin^{4} (x)}{16} = \frac{1}{16}$

Etapa 3.2.1.2

Divida $\sin^{4} (x)$ por $1$ .

$\sin^{4} (x) = \frac{1}{16}$

Etapa 4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sin (x) = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{16}}$

Etapa 5

Simplifique $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{16}}$ .

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Etapa 5.1

Reescreva $\sqrt[4]{\frac{1}{16}}$ como $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{16}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{16}}$

Etapa 5.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{16}}$

Etapa 5.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.1

Reescreva $16$ como $2^{4}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{2^{4}}}$

Etapa 5.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\sin (x) = \pm \frac{1}{2}$

Etapa 6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\sin (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Etapa 7

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 8

Resolva $x$ em $\sin (x) = \frac{1}{2}$ .

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Etapa 8.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 8.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Etapa 8.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Etapa 8.4

Simplifique $π - \frac{π}{6}$ .

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Etapa 8.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 8.4.2

Combine frações.

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Etapa 8.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 8.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 8.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.4.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 8.4.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Etapa 8.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 8.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 8.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 8.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 8.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 8.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Resolva $x$ em $\sin (x) = - \frac{1}{2}$ .

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Etapa 9.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Etapa 9.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ é $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Etapa 9.3

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Etapa 9.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 9.4.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Etapa 9.4.2

O ângulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Etapa 9.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 9.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 9.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 9.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 9.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 9.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 9.6.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{6}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Etapa 9.6.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 9.6.3

Combine frações.

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Etapa 9.6.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 9.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 9.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.6.4.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Etapa 9.6.4.2

Subtraia $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Etapa 9.6.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

Etapa 9.7

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11

Consolide as soluções.

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Etapa 11.1

Consolide $\frac{π}{6} + 2 π n$ e $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ em $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11.2

Consolide $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ e $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ em $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$