Álgebra Exemplos

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1)} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

Etapa 1

Para escrever $\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1)} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

Etapa 2

Para escrever $- \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1)} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x (x + 1) (x + 5) {(x + 2)}^{3}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1)}$ por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$ por $\frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)} - \frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x (x + 2) (x + 5) ((x + 1) {(x + 2)}^{2})}$

Etapa 3.3

Eleve $x + 2$ à potência de $1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)} - \frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x ({(x + 2)}^{2} {(x + 2)}^{1}) (x + 5) (x + 1)}$

Etapa 3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)} - \frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{2 + 1} (x + 5) (x + 1)}$

Etapa 3.5

Some $2$ e $1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)} - \frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 5) (x + 1)}$

Etapa 3.6

Reordene os fatores de $x {(x + 2)}^{3} (x + 5) (x + 1)$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)} - \frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5) - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5

Reescreva $\frac{(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5) - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.1

Expanda $(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 5 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 5 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 5 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.2.1.2

Some $2$ e $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} \cdot 5 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.2.2

Mova $5$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.2.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.3.1

Mova $x$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} + 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.2.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.2.4

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} + 3 x^{2} + 15 x + 2 x + 2 \cdot 5 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.2.5

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} + 3 x^{2} + 15 x + 2 x + 10 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.3

Some $5 x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 15 x + 2 x + 10 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.4

Some $15 x$ e $2 x$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1 \cdot 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.7

Reescreva ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) ((x + 2) (x + 2))}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.8

Expanda $(x + 2) (x + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) (x (x + 2) + 2 (x + 2))}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.9

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.9.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.9.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) (x^{2} + 2 x + 2 x + 2 \cdot 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.9.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.9.2

Some $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) (x^{2} + 4 x + 4)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.10

Expanda $(- x - 1) (x^{2} + 4 x + 4)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x \cdot x^{2} - x (4 x) - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.11

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.11.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.11.1.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - (x^{2} x) - x (4 x) - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.11.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 5.11.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - (x^{2} x^{1}) - x (4 x) - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.11.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{2 + 1} - x (4 x) - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.11.1.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - x (4 x) - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.11.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 1 \cdot 4 x \cdot x - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.11.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.11.3.1

Mova $x$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 1 \cdot 4 (x \cdot x) - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.11.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 1 \cdot 4 x^{2} - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.11.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 4 x^{2} - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.11.5

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 4 x^{2} - 4 x - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.11.6

Reescreva $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 4 x^{2} - 4 x - x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.11.7

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 4 x^{2} - 4 x - x^{2} - 4 x - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.11.8

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 4 x^{2} - 4 x - x^{2} - 4 x - 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.12

Subtraia $x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 5 x^{2} - 4 x - 4 x - 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.13

Subtraia $4 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.14

Subtraia $x^{3}$ de $x^{3}$ .

$\frac{8 x^{2} + 17 x + 10 + 0 - 5 x^{2} - 8 x - 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.15

Some $8 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{8 x^{2} + 17 x + 10 - 5 x^{2} - 8 x - 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.16

Subtraia $5 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} + 17 x + 10 - 8 x - 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.17

Subtraia $8 x$ de $17 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 9 x + 10 - 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.18

Subtraia $4$ de $10$ .

$\frac{3 x^{2} + 9 x + 6}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.19

Reescreva $3 x^{2} + 9 x + 6$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.19.1

Fatore $3$ de $3 x^{2} + 9 x + 6$ .

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Etapa 5.19.1.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 9 x + 6}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.19.1.2

Fatore $3$ de $9 x$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (3 x) + 6}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.19.1.3

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 (3 x) + 3 \cdot 2}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.19.1.4

Fatore $3$ de $3 x^{2} + 3 (3 x)$ .

$\frac{3 (x^{2} + 3 x) + 3 \cdot 2}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.19.1.5

Fatore $3$ de $3 (x^{2} + 3 x) + 3 \cdot 2$ .

$\frac{3 (x^{2} + 3 x + 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.19.2

Fatore.

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Etapa 5.19.2.1

Fatore $x^{2} + 3 x + 2$ usando o método AC.

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Etapa 5.19.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $2$ e cuja soma é $3$ .

$1, 2$

Etapa 5.19.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{3 ((x + 1) (x + 2))}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.19.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{3 (x + 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.20

Reduza a expressão $\frac{3 (x + 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 5.20.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (x + 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Etapa 5.20.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 (x + 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 5)}$

Etapa 6

Reduza a expressão $\frac{3 (x + 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 5)}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 6.1

Fatore $x + 2$ de $3 (x + 2)$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 3}{x {(x + 2)}^{3} (x + 5)}$

Etapa 6.2

Fatore $x + 2$ de $x {(x + 2)}^{3} (x + 5)$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 3}{(x + 2) (x {(x + 2)}^{2} (x + 5))}$

Etapa 6.3

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 2) \cdot 3}{(x + 2) (x {(x + 2)}^{2} (x + 5))}$

Etapa 6.4

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)}$