Álgebra Exemplos

$\frac{2}{y - 5} + \frac{y - 1}{2 y + 1} = \frac{2}{2 y^{2} - 9 y - 5}$

Etapa 1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ e cuja soma é $b = - 9$ .

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Etapa 1.1.1

Fatore $- 9$ de $- 9 y$ .

$\frac{2}{y - 5} + \frac{y - 1}{2 y + 1} = \frac{2}{2 y^{2} - 9 (y) - 5}$

Etapa 1.1.2

Reescreva $- 9$ como $1$ mais $- 10$

$\frac{2}{y - 5} + \frac{y - 1}{2 y + 1} = \frac{2}{2 y^{2} + (1 - 10) y - 5}$

Etapa 1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2}{y - 5} + \frac{y - 1}{2 y + 1} = \frac{2}{2 y^{2} + 1 y - 10 y - 5}$

Etapa 1.1.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{2}{y - 5} + \frac{y - 1}{2 y + 1} = \frac{2}{2 y^{2} + y - 10 y - 5}$

Etapa 1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{2}{y - 5} + \frac{y - 1}{2 y + 1} = \frac{2}{(2 y^{2} + y) - 10 y - 5}$

Etapa 1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{2}{y - 5} + \frac{y - 1}{2 y + 1} = \frac{2}{y (2 y + 1) - 5 (2 y + 1)}$

Etapa 1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 y + 1$ .

$\frac{2}{y - 5} + \frac{y - 1}{2 y + 1} = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)}$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y - 5, 2 y + 1, (2 y + 1) (y - 5)$

Etapa 2.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.4

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 2.5

O fator de $y - 5$ é o próprio $y - 5$ .

$(y - 5) = y - 5$

$(y - 5)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.6

O fator de $2 y + 1$ é o próprio $2 y + 1$ .

$(2 y + 1) = 2 y + 1$

$(2 y + 1)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.7

O fator de $y - 5$ é o próprio $y - 5$ .

$(y - 5) = y - 5$

$(y - 5)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.8

O MMC de $y - 5, 2 y + 1, 2 y + 1, y - 5$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(y - 5) (2 y + 1)$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{2}{y - 5} + \frac{y - 1}{2 y + 1} = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)}$ por $(y - 5) (2 y + 1)$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{2}{y - 5} + \frac{y - 1}{2 y + 1} = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)}$ por $(y - 5) (2 y + 1)$ .

$\frac{2}{y - 5} ((y - 5) (2 y + 1)) + \frac{y - 1}{2 y + 1} ((y - 5) (2 y + 1)) = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum de $y - 5$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{y - 5} ((y - 5) (2 y + 1)) + \frac{y - 1}{2 y + 1} ((y - 5) (2 y + 1)) = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

Etapa 3.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$2 (2 y + 1) + \frac{y - 1}{2 y + 1} ((y - 5) (2 y + 1)) = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

Etapa 3.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (2 y) + 2 \cdot 1 + \frac{y - 1}{2 y + 1} ((y - 5) (2 y + 1)) = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 y + 2 \cdot 1 + \frac{y - 1}{2 y + 1} ((y - 5) (2 y + 1)) = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

Etapa 3.2.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$4 y + 2 + \frac{y - 1}{2 y + 1} ((y - 5) (2 y + 1)) = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

Etapa 3.2.1.5

Cancele o fator comum de $2 y + 1$ .

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Etapa 3.2.1.5.1

Fatore $2 y + 1$ de $(y - 5) (2 y + 1)$ .

$4 y + 2 + \frac{y - 1}{2 y + 1} ((2 y + 1) (y - 5)) = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

Etapa 3.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$4 y + 2 + \frac{y - 1}{2 y + 1} ((2 y + 1) (y - 5)) = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

Etapa 3.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$4 y + 2 + (y - 1) (y - 5) = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

Etapa 3.2.1.6

Expanda $(y - 1) (y - 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y + 2 + y (y - 5) - 1 (y - 5) = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

Etapa 3.2.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y + 2 + y \cdot y + y \cdot - 5 - 1 (y - 5) = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

Etapa 3.2.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y + 2 + y \cdot y + y \cdot - 5 - 1 y - 1 \cdot - 5 = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

Etapa 3.2.1.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.1.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.7.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$4 y + 2 + y^{2} + y \cdot - 5 - 1 y - 1 \cdot - 5 = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

Etapa 3.2.1.7.1.2

Mova $- 5$ para a esquerda de $y$ .

$4 y + 2 + y^{2} - 5 \cdot y - 1 y - 1 \cdot - 5 = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

Etapa 3.2.1.7.1.3

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$4 y + 2 + y^{2} - 5 y - y - 1 \cdot - 5 = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

Etapa 3.2.1.7.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$4 y + 2 + y^{2} - 5 y - y + 5 = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

Etapa 3.2.1.7.2

Subtraia $y$ de $- 5 y$ .

$4 y + 2 + y^{2} - 6 y + 5 = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

Etapa 3.2.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.2.2.1

Subtraia $6 y$ de $4 y$ .

$- 2 y + 2 + y^{2} + 5 = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

Etapa 3.2.2.2

Some $2$ e $5$ .

$- 2 y + y^{2} + 7 = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $(y - 5) (2 y + 1)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Fatore $(y - 5) (2 y + 1)$ de $(2 y + 1) (y - 5)$ .

$- 2 y + y^{2} + 7 = \frac{2}{(y - 5) (2 y + 1) (1)} ((y - 5) (2 y + 1))$

Etapa 3.3.1.2

Cancele o fator comum.

$- 2 y + y^{2} + 7 = \frac{2}{(y - 5) (2 y + 1) \cdot 1} ((y - 5) (2 y + 1))$

Etapa 3.3.1.3

Reescreva a expressão.

$- 2 y + y^{2} + 7 = 2$

Etapa 4

Resolva a equação.

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Etapa 4.1

Mova todos os termos para o lado esquerdo da equação e simplifique.

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Etapa 4.1.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- 2 y + y^{2} + 7 - 2 = 0$

Etapa 4.1.2

Subtraia $2$ de $7$ .

$- 2 y + y^{2} + 5 = 0$

Etapa 4.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = 5$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4

Simplifique.

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Etapa 4.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.4.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Etapa 4.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.1.3

Subtraia $20$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.1.4

Reescreva $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (16)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.1.7

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$y = \frac{2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.1.9

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$y = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm 4 i}{2}$

Etapa 4.4.3

Simplifique $\frac{2 \pm 4 i}{2}$ .

$y = 1 \pm 2 i$

Etapa 4.5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = 1 + 2 i, 1 - 2 i$