Álgebra Exemplos

$f (x) = \frac{3}{4} \sqrt{x + 1}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{3}{4} \sqrt{x + 1}$ como uma equação.

$y = \frac{3}{4} \sqrt{x + 1}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{y + 1}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{3}{4} \cdot \sqrt{y + 1} = x$ .

$\frac{3}{4} \cdot \sqrt{y + 1} = x$

Etapa 3.2

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{y + 1}) = \frac{4}{3} x$

Etapa 3.3

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Simplifique $\frac{4}{3} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{y + 1})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1

Combine $\frac{3}{4}$ e $\sqrt{y + 1}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 \sqrt{y + 1}}{4} = \frac{4}{3} x$

Etapa 3.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 \sqrt{y + 1}}{4} = \frac{4}{3} x$

Etapa 3.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} (3 \sqrt{y + 1}) = \frac{4}{3} x$

Etapa 3.3.1.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.3.1

Fatore $3$ de $3 \sqrt{y + 1}$ .

$\frac{1}{3} (3 (\sqrt{y + 1})) = \frac{4}{3} x$

Etapa 3.3.1.1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} (3 \sqrt{y + 1}) = \frac{4}{3} x$

Etapa 3.3.1.1.3.3

Reescreva a expressão.

$\sqrt{y + 1} = \frac{4}{3} x$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Combine $\frac{4}{3}$ e $x$ .

$\sqrt{y + 1} = \frac{4 x}{3}$

Etapa 3.4

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{y + 1}}^{2} = {(\frac{4 x}{3})}^{2}$

Etapa 3.5

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y + 1}$ como ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{4 x}{3})}^{2}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Simplifique ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{4 x}{3})}^{2}$

Etapa 3.5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{4 x}{3})}^{2}$

Etapa 3.5.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(y + 1)}^{1} = {(\frac{4 x}{3})}^{2}$

Etapa 3.5.2.1.2

Simplifique.

$y + 1 = {(\frac{4 x}{3})}^{2}$

Etapa 3.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1

Simplifique ${(\frac{4 x}{3})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{4 x}{3}$ .

$y + 1 = \frac{{(4 x)}^{2}}{3^{2}}$

Etapa 3.5.3.1.1.2

Aplique a regra do produto a $4 x$ .

$y + 1 = \frac{4^{2} x^{2}}{3^{2}}$

Etapa 3.5.3.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$y + 1 = \frac{16 x^{2}}{3^{2}}$

Etapa 3.5.3.1.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$y + 1 = \frac{16 x^{2}}{9}$

Etapa 3.6

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = \frac{16 x^{2}}{9} - 1$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{16 x^{2}}{9} - 1$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{16 x^{2}}{9} - 1$ é o inverso de $f (x) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{16 {(\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1})}^{2}}{9} - 1$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{16 {(\frac{3}{4})}^{2} \cdot {\sqrt{x + 1}}^{2}}{9} - 1$

Etapa 5.2.3.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{4}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{16 (\frac{3^{2}}{4^{2}}) \cdot {\sqrt{x + 1}}^{2}}{9} - 1$

Etapa 5.2.3.1.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{16 (\frac{9}{4^{2}}) \cdot {\sqrt{x + 1}}^{2}}{9} - 1$

Etapa 5.2.3.1.4

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{16 (\frac{9}{16}) \cdot {\sqrt{x + 1}}^{2}}{9} - 1$

Etapa 5.2.3.1.5

Reescreva ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ como $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{16 (\frac{9}{16}) \cdot {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} - 1$

Etapa 5.2.3.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{16 (\frac{9}{16}) \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} - 1$

Etapa 5.2.3.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{16 (\frac{9}{16}) \cdot {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{9} - 1$

Etapa 5.2.3.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{16 (\frac{9}{16}) \cdot {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{9} - 1$

Etapa 5.2.3.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{16 (\frac{9}{16}) \cdot (x + 1)}{9} - 1$

Etapa 5.2.3.1.5.5

Simplifique.

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{16 (\frac{9}{16}) \cdot (x + 1)}{9} - 1$

Etapa 5.2.3.1.6

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.6.1

Combine $16$ e $\frac{9}{16}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{\frac{16 \cdot 9}{16} \cdot (x + 1)}{9} - 1$

Etapa 5.2.3.1.6.2

Multiplique $16$ por $9$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{\frac{144}{16} \cdot (x + 1)}{9} - 1$

Etapa 5.2.3.1.7

Divida $144$ por $16$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{9 \cdot (x + 1)}{9} - 1$

Etapa 5.2.3.2

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{9 \cdot (x + 1)}{9} - 1$

Etapa 5.2.3.2.2

Divida $x + 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = x + 1 - 1$

Etapa 5.2.4

Combine os termos opostos em $x + 1 - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = x + 0$

Etapa 5.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{(\frac{16 x^{2}}{9} - 1) + 1}$

Etapa 5.3.3

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{\frac{16 x^{2}}{9} + 0}$

Etapa 5.3.3.2

Some $\frac{16 x^{2}}{9}$ e $0$ .

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{\frac{16 x^{2}}{9}}$

Etapa 5.3.4

Reescreva $16 x^{2}$ como ${(4 x)}^{2}$ .

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{\frac{{(4 x)}^{2}}{9}}$

Etapa 5.3.5

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{\frac{{(4 x)}^{2}}{3^{2}}}$

Etapa 5.3.6

Reescreva $\frac{{(4 x)}^{2}}{3^{2}}$ como ${(\frac{4 x}{3})}^{2}$ .

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{{(\frac{4 x}{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = \frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3}$

Etapa 5.3.8

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.8.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = \frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3}$

Etapa 5.3.8.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = \frac{1}{4} \cdot (4 x)$

Etapa 5.3.9

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.9.1

Fatore $4$ de $4 x$ .

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = \frac{1}{4} \cdot (4 (x))$

Etapa 5.3.9.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = \frac{1}{4} \cdot (4 x)$

Etapa 5.3.9.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{16 x^{2}}{9} - 1$ é o inverso de $f (x) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{16 x^{2}}{9} - 1$