Álgebra Exemplos

$\frac{a}{x + a} + \frac{b}{x - b} = \frac{a + b}{x + c}$

Etapa 1

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x + a, x - b, x + c$

Etapa 1.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 1.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 1.4

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 1.5

O fator de $x + a$ é o próprio $x + a$ .

$(x + a) = x + a$

$(x + a)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.6

O fator de $x - b$ é o próprio $x - b$ .

$(x - b) = x - b$

$(x - b)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.7

O fator de $x + c$ é o próprio $x + c$ .

$(x + c) = x + c$

$(x + c)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.8

O MMC de $x + a, x - b, x + c$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(x + a) (x - b) (x + c)$

Etapa 2

Multiplique cada termo em $\frac{a}{x + a} + \frac{b}{x - b} = \frac{a + b}{x + c}$ por $(x + a) (x - b) (x + c)$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Multiplique cada termo em $\frac{a}{x + a} + \frac{b}{x - b} = \frac{a + b}{x + c}$ por $(x + a) (x - b) (x + c)$ .

$\frac{a}{x + a} ((x + a) (x - b) (x + c)) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum de $x + a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Fatore $x + a$ de $(x + a) (x - b) (x + c)$ .

$\frac{a}{x + a} ((x + a) ((x - b) (x + c))) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Etapa 2.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{a}{x + a} ((x + a) ((x - b) (x + c))) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Etapa 2.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$a ((x - b) (x + c)) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Etapa 2.2.1.2

Expanda $(x - b) (x + c)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$a (x (x + c) - b (x + c)) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Etapa 2.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$a (x \cdot x + x c - b (x + c)) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Etapa 2.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$a (x \cdot x + x c - b x - b c) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique $x$ por $x$ .

$a (x^{2} + x c - b x - b c) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Etapa 2.2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$a x^{2} + a (x c) + a (- b x) + a (- b c) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Etapa 2.2.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.5.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$a x^{2} + a x c - a b x + a (- b c) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Etapa 2.2.1.5.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Etapa 2.2.1.6

Cancele o fator comum de $x - b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.6.1

Fatore $x - b$ de $(x + a) (x - b) (x + c)$ .

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + \frac{b}{x - b} ((x - b) ((x + a) (x + c))) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Etapa 2.2.1.6.2

Cancele o fator comum.

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + \frac{b}{x - b} ((x - b) ((x + a) (x + c))) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Etapa 2.2.1.6.3

Reescreva a expressão.

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b ((x + a) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Etapa 2.2.1.7

Expanda $(x + a) (x + c)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b (x (x + c) + a (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Etapa 2.2.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b (x \cdot x + x c + a (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Etapa 2.2.1.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b (x \cdot x + x c + a x + a c) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Etapa 2.2.1.8

Multiplique $x$ por $x$ .

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b (x^{2} + x c + a x + a c) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Etapa 2.2.1.9

Aplique a propriedade distributiva.

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b x^{2} + b (x c) + b (a x) + b (a c) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Etapa 2.2.1.10

Remova os parênteses.

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b x^{2} + b x c + b a x + b a c = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Etapa 2.2.2

Combine os termos opostos em $a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b x^{2} + b x c + b a x + b a c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Reorganize os fatores nos termos $- a b x$ e $b a x$ .

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b x^{2} + b x c + a b x + b a c = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Etapa 2.2.2.2

Some $- a b x$ e $a b x$ .

$a x^{2} + a x c - a b c + b x^{2} + b x c + 0 + b a c = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Etapa 2.2.2.3

Some $a x^{2} + a x c - a b c + b x^{2} + b x c$ e $0$ .

$a x^{2} + a x c - a b c + b x^{2} + b x c + b a c = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Etapa 2.2.2.4

Reorganize os fatores nos termos $- a b c$ e $b a c$ .

$a x^{2} + a x c - a b c + b x^{2} + b x c + a b c = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Etapa 2.2.2.5

Some $- a b c$ e $a b c$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c + 0 = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Etapa 2.2.2.6

Some $a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c$ e $0$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum de $x + c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Fatore $x + c$ de $(x + a) (x - b) (x + c)$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = \frac{a + b}{x + c} ((x + c) ((x + a) (x - b)))$

Etapa 2.3.1.2

Cancele o fator comum.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = \frac{a + b}{x + c} ((x + c) ((x + a) (x - b)))$

Etapa 2.3.1.3

Reescreva a expressão.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = (a + b) ((x + a) (x - b))$

Etapa 2.3.2

Expanda $(x + a) (x - b)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = (a + b) (x (x - b) + a (x - b))$

Etapa 2.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = (a + b) (x \cdot x + x (- b) + a (x - b))$

Etapa 2.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = (a + b) (x \cdot x + x (- b) + a x + a (- b))$

Etapa 2.3.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = (a + b) (x^{2} + x (- b) + a x + a (- b))$

Etapa 2.3.3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = (a + b) (x^{2} - x b + a x + a (- b))$

Etapa 2.3.3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = (a + b) (x^{2} - x b + a x - a b)$

Etapa 2.3.4

Expanda $(a + b) (x^{2} - x b + a x - a b)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a (- x b) + a (a x) + a (- a b) + b x^{2} + b (- x b) + b (a x) + b (- a b)$

Etapa 2.3.5

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Combine os termos opostos em $a x^{2} + a (- x b) + a (a x) + a (- a b) + b x^{2} + b (- x b) + b (a x) + b (- a b)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1.1

Reorganize os fatores nos termos $a (- x b)$ e $b (a x)$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} - a b x + a (a x) + a (- a b) + b x^{2} + b (- x b) + a b x + b (- a b)$

Etapa 2.3.5.1.2

Some $- a b x$ e $a b x$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a (a x) + a (- a b) + b x^{2} + b (- x b) + 0 + b (- a b)$

Etapa 2.3.5.1.3

Some $a x^{2} + a (a x) + a (- a b) + b x^{2} + b (- x b)$ e $0$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a (a x) + a (- a b) + b x^{2} + b (- x b) + b (- a b)$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1

Multiplique $a$ por $a$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1.1

Mova $a$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a \cdot a x + a (- a b) + b x^{2} + b (- x b) + b (- a b)$

Etapa 2.3.5.2.1.2

Multiplique $a$ por $a$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x + a (- a b) + b x^{2} + b (- x b) + b (- a b)$

Etapa 2.3.5.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - a (a b) + b x^{2} + b (- x b) + b (- a b)$

Etapa 2.3.5.2.3

Multiplique $a$ por $a$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.3.1

Mova $a$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - (a \cdot a) b + b x^{2} + b (- x b) + b (- a b)$

Etapa 2.3.5.2.3.2

Multiplique $a$ por $a$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - a^{2} b + b x^{2} + b (- x b) + b (- a b)$

Etapa 2.3.5.2.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - a^{2} b + b x^{2} - b (x b) + b (- a b)$

Etapa 2.3.5.2.5

Multiplique $b$ por $b$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.5.1

Mova $b$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - a^{2} b + b x^{2} - (b \cdot b) x + b (- a b)$

Etapa 2.3.5.2.5.2

Multiplique $b$ por $b$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - a^{2} b + b x^{2} - b^{2} x + b (- a b)$

Etapa 2.3.5.2.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - a^{2} b + b x^{2} - b^{2} x - b (a b)$

Etapa 2.3.5.2.7

Multiplique $b$ por $b$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.7.1

Mova $b$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - a^{2} b + b x^{2} - b^{2} x - (b \cdot b) a$

Etapa 2.3.5.2.7.2

Multiplique $b$ por $b$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - a^{2} b + b x^{2} - b^{2} x - b^{2} a$

Etapa 3

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Subtraia $a x^{2}$ dos dois lados da equação.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c - a x^{2} = a^{2} x - a^{2} b + b x^{2} - b^{2} x - b^{2} a$

Etapa 3.1.2

Subtraia $a^{2} x$ dos dois lados da equação.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c - a x^{2} - a^{2} x = - a^{2} b + b x^{2} - b^{2} x - b^{2} a$

Etapa 3.1.3

Subtraia $b x^{2}$ dos dois lados da equação.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c - a x^{2} - a^{2} x - b x^{2} = - a^{2} b - b^{2} x - b^{2} a$

Etapa 3.1.4

Some $b^{2} x$ aos dois lados da equação.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c - a x^{2} - a^{2} x - b x^{2} + b^{2} x = - a^{2} b - b^{2} a$

Etapa 3.1.5

Combine os termos opostos em $a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c - a x^{2} - a^{2} x - b x^{2} + b^{2} x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.5.1

Subtraia $a x^{2}$ de $a x^{2}$ .

$a x c + b x^{2} + b x c + 0 - a^{2} x - b x^{2} + b^{2} x = - a^{2} b - b^{2} a$

Etapa 3.1.5.2

Some $a x c + b x^{2} + b x c$ e $0$ .

$a x c + b x^{2} + b x c - a^{2} x - b x^{2} + b^{2} x = - a^{2} b - b^{2} a$

Etapa 3.1.5.3

Subtraia $b x^{2}$ de $b x^{2}$ .

$a x c + b x c - a^{2} x + 0 + b^{2} x = - a^{2} b - b^{2} a$

Etapa 3.1.5.4

Some $a x c + b x c - a^{2} x$ e $0$ .

$a x c + b x c - a^{2} x + b^{2} x = - a^{2} b - b^{2} a$

Etapa 3.2

Fatore $x$ de $a x c + b x c - a^{2} x + b^{2} x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Fatore $x$ de $a x c$ .

$x (a c) + b x c - a^{2} x + b^{2} x = - a^{2} b - b^{2} a$

Etapa 3.2.2

Fatore $x$ de $b x c$ .

$x (a c) + x (b c) - a^{2} x + b^{2} x = - a^{2} b - b^{2} a$

Etapa 3.2.3

Fatore $x$ de $- a^{2} x$ .

$x (a c) + x (b c) + x (- a^{2}) + b^{2} x = - a^{2} b - b^{2} a$

Etapa 3.2.4

Fatore $x$ de $b^{2} x$ .

$x (a c) + x (b c) + x (- a^{2}) + x b^{2} = - a^{2} b - b^{2} a$

Etapa 3.2.5

Fatore $x$ de $x (a c) + x (b c)$ .

$x (a c + b c) + x (- a^{2}) + x b^{2} = - a^{2} b - b^{2} a$

Etapa 3.2.6

Fatore $x$ de $x (a c + b c) + x (- a^{2})$ .

$x (a c + b c - a^{2}) + x b^{2} = - a^{2} b - b^{2} a$

Etapa 3.2.7

Fatore $x$ de $x (a c + b c - a^{2}) + x b^{2}$ .

$x (a c + b c - a^{2} + b^{2}) = - a^{2} b - b^{2} a$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $x (a c + b c - a^{2} + b^{2}) = - a^{2} b - b^{2} a$ por $a c + b c - a^{2} + b^{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $x (a c + b c - a^{2} + b^{2}) = - a^{2} b - b^{2} a$ por $a c + b c - a^{2} + b^{2}$ .

$\frac{x (a c + b c - a^{2} + b^{2})}{a c + b c - a^{2} + b^{2}} = \frac{- a^{2} b}{a c + b c - a^{2} + b^{2}} + \frac{- b^{2} a}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $a c + b c - a^{2} + b^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (a c + b c - a^{2} + b^{2})}{a c + b c - a^{2} + b^{2}} = \frac{- a^{2} b}{a c + b c - a^{2} + b^{2}} + \frac{- b^{2} a}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- a^{2} b}{a c + b c - a^{2} + b^{2}} + \frac{- b^{2} a}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{- a^{2} b - b^{2} a}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Etapa 3.3.3.2

Fatore $a b$ de $- a^{2} b - b^{2} a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Fatore $a b$ de $- a^{2} b$ .

$x = \frac{a b (- a) - b^{2} a}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Etapa 3.3.3.2.2

Fatore $a b$ de $- b^{2} a$ .

$x = \frac{a b (- a) + a b (- b)}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Etapa 3.3.3.2.3

Fatore $a b$ de $a b (- a) + a b (- b)$ .

$x = \frac{a b (- a - b)}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Etapa 3.3.3.3

Fatore $- 1$ de $- a$ .

$x = \frac{a b (- (a) - b)}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Etapa 3.3.3.4

Fatore $- 1$ de $- b$ .

$x = \frac{a b (- (a) - (b))}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Etapa 3.3.3.5

Fatore $- 1$ de $- (a) - (b)$ .

$x = \frac{a b (- (a + b))}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Etapa 3.3.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.6.1

Reescreva $- (a + b)$ como $- 1 (a + b)$ .

$x = \frac{a b (- 1 (a + b))}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Etapa 3.3.3.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{(a b) (a + b)}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$