Álgebra Exemplos

$\frac{x^{2} - 12 x + 32}{2 x^{3} - 18 x^{2} + 40 x} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x - 8} \div \frac{x^{2} + 4 x - 5}{25 - x^{2}}$

Etapa 1

Para dividir por uma fração, multiplique por seu inverso.

$\frac{x^{2} - 12 x + 32}{2 x^{3} - 18 x^{2} + 40 x} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x - 8} \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Etapa 2

Fatore $x^{2} - 12 x + 32$ usando o método AC.

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Etapa 2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $32$ e cuja soma é $- 12$ .

$- 8, - 4$

Etapa 2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 8) (x - 4)}{2 x^{3} - 18 x^{2} + 40 x} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x - 8} \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Etapa 3

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{3} - 18 x^{2} + 40 x$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{(x - 8) (x - 4)}{2 x (x^{2}) - 18 x^{2} + 40 x} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x - 8} \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Etapa 3.1.2

Fatore $2 x$ de $- 18 x^{2}$ .

$\frac{(x - 8) (x - 4)}{2 x (x^{2}) + 2 x (- 9 x) + 40 x} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x - 8} \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Etapa 3.1.3

Fatore $2 x$ de $40 x$ .

$\frac{(x - 8) (x - 4)}{2 x (x^{2}) + 2 x (- 9 x) + 2 x (20)} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x - 8} \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Etapa 3.1.4

Fatore $2 x$ de $2 x (x^{2}) + 2 x (- 9 x)$ .

$\frac{(x - 8) (x - 4)}{2 x (x^{2} - 9 x) + 2 x (20)} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x - 8} \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Etapa 3.1.5

Fatore $2 x$ de $2 x (x^{2} - 9 x) + 2 x (20)$ .

$\frac{(x - 8) (x - 4)}{2 x (x^{2} - 9 x + 20)} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x - 8} \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Etapa 3.2

Fatore $x^{2} - 9 x + 20$ usando o método AC.

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Etapa 3.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $20$ e cuja soma é $- 9$ .

$- 5, - 4$

Etapa 3.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 8) (x - 4)}{2 x ((x - 5) (x - 4))} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x - 8} \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

$\frac{(x - 8) (x - 4)}{2 x (x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x - 8} \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(x - 8) (x - 4)}{2 x (x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2} - 7 x - 8} \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Etapa 4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{(x - 8) (x - 4)}{2 x (x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} - 7 x - 8} \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Etapa 5

Fatore $x^{2} - 7 x - 8$ usando o método AC.

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Etapa 5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 8$ e cuja soma é $- 7$ .

$- 8, 1$

Etapa 5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 8) (x - 4)}{2 x (x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 8) (x + 1)} \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Etapa 6

Simplifique os termos.

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $x - 8$ .

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Etapa 6.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 8) (x - 4)}{2 x (x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 8) (x + 1)} \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Etapa 6.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x - 4}{2 x (x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 1} \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Etapa 6.2

Multiplique $\frac{x - 4}{2 x (x - 5) (x - 4)}$ por $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 4) ((x + 1) (x - 1))}{2 x (x - 5) (x - 4) (x + 1)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Etapa 6.3

Cancele o fator comum de $x - 4$ .

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Etapa 6.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 4) ((x + 1) (x - 1))}{2 x (x - 5) (x - 4) (x + 1)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Etapa 6.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{2 x (x - 5) (x + 1)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Etapa 6.4

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{2 x (x - 5) (x + 1)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Etapa 6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x - 1}{2 x (x - 5)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{x - 1}{2 x (x - 5)} \cdot \frac{5^{2} - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Etapa 7.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 5$ e $b = x$ .

$\frac{x - 1}{2 x (x - 5)} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{2} + 4 x - 5}$

Etapa 8

Fatore $x^{2} + 4 x - 5$ usando o método AC.

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Etapa 8.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 5$ e cuja soma é $4$ .

$- 1, 5$

Etapa 8.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x - 1}{2 x (x - 5)} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{(x - 1) (x + 5)}$

Etapa 9

Simplifique os termos.

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Etapa 9.1

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 9.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x - 1}{2 x (x - 5)} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{(x - 1) (x + 5)}$

Etapa 9.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 x (x - 5)} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x + 5}$

Etapa 9.2

Multiplique $\frac{1}{2 x (x - 5)}$ por $\frac{(5 + x) (5 - x)}{x + 5}$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{2 x (x - 5) (x + 5)}$

Etapa 9.3

Cancele o fator comum de $5 + x$ e $x + 5$ .

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Etapa 9.3.1

Reordene os termos.

$\frac{(x + 5) (5 - x)}{2 x (x - 5) (x + 5)}$

Etapa 9.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 5) (5 - x)}{2 x (x - 5) (x + 5)}$

Etapa 9.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5 - x}{2 x (x - 5)}$

Etapa 9.4

Cancele o fator comum de $5 - x$ e $x - 5$ .

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Etapa 9.4.1

Reescreva $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$\frac{- 1 (- 5) - x}{2 x (x - 5)}$

Etapa 9.4.2

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- 1 (- 5) - (x)}{2 x (x - 5)}$

Etapa 9.4.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- 5) - (x)$ .

$\frac{- 1 (- 5 + x)}{2 x (x - 5)}$

Etapa 9.4.4

Reordene os termos.

$\frac{- 1 (x - 5)}{2 x (x - 5)}$

Etapa 9.4.5

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1 (x - 5)}{2 x (x - 5)}$

Etapa 9.4.6

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{2 x}$

Etapa 9.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2 x}$