Álgebra Exemplos

$\frac{x^{2} + 3 x - 54}{x^{2} + 4 x - 60} \cdot \frac{9 - x}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 20 x + 100}{x^{2} + x - 90}$

Etapa 1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 1.1

Reescreva $100$ como $10^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 54}{x^{2} + 4 x - 60} \cdot \frac{9 - x}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 20 x + 10^{2}}{x^{2} + x - 90}$

Etapa 1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$20 x = 2 \cdot x \cdot 10$

Etapa 1.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{x^{2} + 3 x - 54}{x^{2} + 4 x - 60} \cdot \frac{9 - x}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 10 + 10^{2}}{x^{2} + x - 90}$

Etapa 1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 10$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 54}{x^{2} + 4 x - 60} \cdot \frac{9 - x}{x + 9} \cdot \frac{{(x + 10)}^{2}}{x^{2} + x - 90}$

Etapa 2

Fatore $x^{2} + x - 90$ usando o método AC.

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Etapa 2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 90$ e cuja soma é $1$ .

$- 9, 10$

Etapa 2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x^{2} + 3 x - 54}{x^{2} + 4 x - 60} \cdot \frac{9 - x}{x + 9} \cdot \frac{{(x + 10)}^{2}}{(x - 9) (x + 10)}$

Etapa 3

Fatore $x^{2} + 3 x - 54$ usando o método AC.

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Etapa 3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 54$ e cuja soma é $3$ .

$- 6, 9$

Etapa 3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 6) (x + 9)}{x^{2} + 4 x - 60} \cdot \frac{9 - x}{x + 9} \cdot \frac{{(x + 10)}^{2}}{(x - 9) (x + 10)}$

Etapa 4

Fatore $x^{2} + 4 x - 60$ usando o método AC.

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Etapa 4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 60$ e cuja soma é $4$ .

$- 6, 10$

Etapa 4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 6) (x + 9)}{(x - 6) (x + 10)} \cdot \frac{9 - x}{x + 9} \cdot \frac{{(x + 10)}^{2}}{(x - 9) (x + 10)}$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum de $x + 9$ .

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Etapa 5.1.1

Fatore $x + 9$ de $(x - 6) (x + 9)$ .

$\frac{(x + 9) (x - 6)}{(x - 6) (x + 10)} \cdot \frac{9 - x}{x + 9} \cdot \frac{{(x + 10)}^{2}}{(x - 9) (x + 10)}$

Etapa 5.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 9) (x - 6)}{(x - 6) (x + 10)} \cdot \frac{9 - x}{x + 9} \cdot \frac{{(x + 10)}^{2}}{(x - 9) (x + 10)}$

Etapa 5.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x - 6}{(x - 6) (x + 10)} \cdot (9 - x) \cdot \frac{{(x + 10)}^{2}}{(x - 9) (x + 10)}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $x - 6$ .

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x - 6}{(x - 6) (x + 10)} \cdot (9 - x) \cdot \frac{{(x + 10)}^{2}}{(x - 9) (x + 10)}$

Etapa 5.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x + 10} \cdot (9 - x) \cdot \frac{{(x + 10)}^{2}}{(x - 9) (x + 10)}$

Etapa 5.3

Multiplique $\frac{1}{x + 10}$ por $9 - x$ .

$\frac{9 - x}{x + 10} \cdot \frac{{(x + 10)}^{2}}{(x - 9) (x + 10)}$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $x + 10$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $x + 10$ de ${(x + 10)}^{2}$ .

$\frac{9 - x}{x + 10} \cdot \frac{(x + 10) (x + 10)}{(x - 9) (x + 10)}$

Etapa 5.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{9 - x}{x + 10} \cdot \frac{(x + 10) (x + 10)}{(x - 9) (x + 10)}$

Etapa 5.4.3

Reescreva a expressão.

$(9 - x) \cdot \frac{x + 10}{(x - 9) (x + 10)}$

Etapa 5.5

Cancele o fator comum de $x + 10$ .

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Etapa 5.5.1

Cancele o fator comum.

$(9 - x) \cdot \frac{x + 10}{(x - 9) (x + 10)}$

Etapa 5.5.2

Reescreva a expressão.

$(9 - x) \cdot \frac{1}{x - 9}$

Etapa 5.6

Multiplique $9 - x$ por $\frac{1}{x - 9}$ .

$\frac{9 - x}{x - 9}$

Etapa 5.7

Cancele o fator comum de $9 - x$ e $x - 9$ .

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Etapa 5.7.1

Reescreva $9$ como $- 1 (- 9)$ .

$\frac{- 1 (- 9) - x}{x - 9}$

Etapa 5.7.2

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- 1 (- 9) - (x)}{x - 9}$

Etapa 5.7.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- 9) - (x)$ .

$\frac{- 1 (- 9 + x)}{x - 9}$

Etapa 5.7.4

Reordene os termos.

$\frac{- 1 (x - 9)}{x - 9}$

Etapa 5.7.5

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1 (x - 9)}{x - 9}$

Etapa 5.7.6

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$