Álgebra Exemplos

$(y^{4} + 8 y^{3} + 16 y^{2}) - (y^{2} + 8 y + 16)$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$y^{4} + 8 y^{3} + 16 y^{2} - (y^{2} + 8 y + 16)$

Etapa 2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.1

Reescreva $y^{4}$ como ${(y^{2})}^{2}$ .

${(y^{2})}^{2} + 8 y^{3} + 16 y^{2} - (y^{2} + 8 y + 16)$

Etapa 2.2

Reescreva $16 y^{2}$ como ${(4 y)}^{2}$ .

${(y^{2})}^{2} + 8 y^{3} + {(4 y)}^{2} - (y^{2} + 8 y + 16)$

Etapa 2.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$8 y^{3} = 2 \cdot y^{2} \cdot (4 y)$

Etapa 2.4

Reescreva o polinômio.

${(y^{2})}^{2} + 2 \cdot y^{2} \cdot (4 y) + {(4 y)}^{2} - (y^{2} + 8 y + 16)$

Etapa 2.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = y^{2}$ e $b = 4 y$ .

${(y^{2} + 4 y)}^{2} - (y^{2} + 8 y + 16)$

Etapa 3

Reescreva $y^{2} + 8 y + 16$ como ${(y + 4)}^{2}$ .

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Etapa 3.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

${(y^{2} + 4 y)}^{2} - (y^{2} + 8 y + 4^{2})$

Etapa 3.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$8 y = 2 \cdot y \cdot 4$

Etapa 3.3

Reescreva o polinômio.

${(y^{2} + 4 y)}^{2} - (y^{2} + 2 \cdot y \cdot 4 + 4^{2})$

Etapa 3.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = y$ e $b = 4$ .

${(y^{2} + 4 y)}^{2} - {(y + 4)}^{2}$

Etapa 4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y^{2} + 4 y$ e $b = y + 4$ .

$(y^{2} + 4 y + y + 4) (y^{2} + 4 y - (y + 4))$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$((y^{2} + 4 y) + y + 4) (y^{2} + 4 y - (y + 4))$

Etapa 5.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(y (y + 4) + 1 (y + 4)) (y^{2} + 4 y - (y + 4))$

Etapa 5.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $y + 4$ .

$(y + 4) (y + 1) (y^{2} + 4 y - (y + 4))$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(y + 4) (y + 1) (y^{2} + 4 y - y - 1 \cdot 4)$

Etapa 5.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$(y + 4) (y + 1) (y^{2} + 4 y - y - 4)$

Etapa 5.5

Subtraia $y$ de $4 y$ .

$(y + 4) (y + 1) (y^{2} + 3 y - 4)$

Etapa 5.6

Fatore.

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Etapa 5.6.1

Fatore $y^{2} + 3 y - 4$ usando o método AC.

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Etapa 5.6.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 4$ e cuja soma é $3$ .

$- 1, 4$

Etapa 5.6.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(y + 4) (y + 1) ((y - 1) (y + 4))$

Etapa 5.6.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(y + 4) (y + 1) (y - 1) (y + 4)$

Etapa 5.7

Combine expoentes.

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Etapa 5.7.1

Eleve $y + 4$ à potência de $1$ .

${(y + 4)}^{1} (y + 4) (y + 1) (y - 1)$

Etapa 5.7.2

Eleve $y + 4$ à potência de $1$ .

${(y + 4)}^{1} {(y + 4)}^{1} (y + 1) (y - 1)$

Etapa 5.7.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(y + 4)}^{1 + 1} (y + 1) (y - 1)$

Etapa 5.7.4

Some $1$ e $1$ .

${(y + 4)}^{2} (y + 1) (y - 1)$