Álgebra Exemplos

$3^{2 x} - 5 \cdot 3^{x} = - 6$

Etapa 1

Reescreva $3^{2 x}$ como exponenciação.

${(3^{x})}^{2} - 5 \cdot 3^{x} = - 6$

Etapa 2

Substitua $u$ por $3^{x}$ .

$u^{2} - 5 u = - 6$

Etapa 3

Resolva $u$ .

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Etapa 3.1

Some $6$ aos dois lados da equação.

$u^{2} - 5 u + 6 = 0$

Etapa 3.2

Fatore $u^{2} - 5 u + 6$ usando o método AC.

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Etapa 3.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $6$ e cuja soma é $- 5$ .

$- 3, - 2$

Etapa 3.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 3) (u - 2) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

$u - 2 = 0$

Etapa 3.4

Defina $u - 3$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $u - 3$ como igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

Etapa 3.4.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$u = 3$

Etapa 3.5

Defina $u - 2$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $u - 2$ como igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

Etapa 3.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$u = 2$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 3) (u - 2) = 0$ verdadeiro.

$u = 3, 2$

Etapa 4

Substitua $3$ por $u$ em $u = 3^{x}$ .

$3 = 3^{x}$

Etapa 5

Resolva $3 = 3^{x}$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $3^{x} = 3$ .

$3^{x} = 3$

Etapa 5.2

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$3^{x} = 3^{1}$

Etapa 5.3

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$x = 1$

Etapa 6

Substitua $2$ por $u$ em $u = 3^{x}$ .

$2 = 3^{x}$

Etapa 7

Resolva $2 = 3^{x}$ .

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Etapa 7.1

Reescreva a equação como $3^{x} = 2$ .

$3^{x} = 2$

Etapa 7.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (3^{x}) = \ln (2)$

Etapa 7.3

Expanda $\ln (3^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (3) = \ln (2)$

Etapa 7.4

Divida cada termo em $x \ln (3) = \ln (2)$ por $\ln (3)$ e simplifique.

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Etapa 7.4.1

Divida cada termo em $x \ln (3) = \ln (2)$ por $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

Etapa 7.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.4.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (3)$ .

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Etapa 7.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

Etapa 7.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

Etapa 8

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = 1, \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = 1, \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

Forma decimal:

$x = 1, 0.63092975 \dots$