Álgebra Exemplos

$x^{2} + {(y - 3 \sqrt{2} x)}^{2} = 1$

Etapa 1

Reescreva ${(y - 3 \sqrt{2} x)}^{2}$ como $(y - 3 \sqrt{2} x) (y - 3 \sqrt{2} x)$ .

$x^{2} + (y - 3 \sqrt{2} x) (y - 3 \sqrt{2} x) = 1$

Etapa 2

Expanda $(y - 3 \sqrt{2} x) (y - 3 \sqrt{2} x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + y (y - 3 \sqrt{2} x) - 3 \sqrt{2} x (y - 3 \sqrt{2} x) = 1$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + y \cdot y + y (- 3 \sqrt{2} x) - 3 \sqrt{2} x (y - 3 \sqrt{2} x) = 1$

Etapa 2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + y \cdot y + y (- 3 \sqrt{2} x) - 3 \sqrt{2} x y - 3 \sqrt{2} x (- 3 \sqrt{2} x) = 1$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$x^{2} + y^{2} + y (- 3 \sqrt{2} x) - 3 \sqrt{2} x y - 3 \sqrt{2} x (- 3 \sqrt{2} x) = 1$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y - 3 \sqrt{2} x (- 3 \sqrt{2} x) = 1$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y - 3 \sqrt{2} \cdot (- 3 \sqrt{2} x \cdot x) = 1$

Etapa 3.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1

Mova $x$ .

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y - 3 \sqrt{2} \cdot (- 3 \sqrt{2} (x \cdot x)) = 1$

Etapa 3.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y - 3 \sqrt{2} \cdot (- 3 \sqrt{2} x^{2}) = 1$

Etapa 3.5

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 9 \sqrt{2} \sqrt{2} x^{2} = 1$

Etapa 3.6

Multiplique $9 \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Etapa 3.6.1

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 9 (\sqrt{2} \sqrt{2}) x^{2} = 1$

Etapa 3.6.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 9 (\sqrt{2} \sqrt{2}) x^{2} = 1$

Etapa 3.6.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 9 {\sqrt{2}}^{1 + 1} x^{2} = 1$

Etapa 3.6.4

Some $1$ e $1$ .

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 9 {\sqrt{2}}^{2} x^{2} = 1$

Etapa 3.7

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 3.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = 1$

Etapa 3.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 9 \cdot (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} x^{2}) = 1$

Etapa 3.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 9 \cdot (2^{\frac{2}{2}} x^{2}) = 1$

Etapa 3.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.7.4.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 9 \cdot (2^{\frac{2}{2}} x^{2}) = 1$

Etapa 3.7.4.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 9 \cdot (2 x^{2}) = 1$

Etapa 3.7.5

Avalie o expoente.

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 9 \cdot (2 x^{2}) = 1$

Etapa 3.8

Multiplique $9$ por $2$ .

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 18 x^{2} = 1$

Etapa 4

Reorganize os fatores nos termos $- 3 \sqrt{2} y x$ e $- 3 \sqrt{2} x y$ .

$x^{2} + y^{2} - 3 x y \sqrt{2} - 3 x y \sqrt{2} + 18 x^{2} = 1$

Etapa 5

Subtraia $3 x y \sqrt{2}$ de $- 3 x y \sqrt{2}$ .

$x^{2} + y^{2} - 6 x y \sqrt{2} + 18 x^{2} = 1$

Etapa 6

Some $x^{2}$ e $18 x^{2}$ .

$19 x^{2} + y^{2} - 6 x y \sqrt{2} = 1$

Etapa 7

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$19 x^{2} + y^{2} - 6 x y \sqrt{2} - 1 = 0$

Etapa 8

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 9

Substitua os valores $a = 19$ , $b = - 6 y \sqrt{2}$ e $c = y^{2} - 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 6 y \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (19 \cdot (y^{2} - 1))}}{2 \cdot 19}$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.1.1

Adicione parênteses.

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 6 (y \sqrt{2}))}^{2} - 4 \cdot (19 \cdot (y^{2} - 1))}}{2 \cdot 19}$

Etapa 10.1.2

Deixe $u = 19 \cdot (y^{2} - 1)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $19 \cdot (y^{2} - 1)$ .

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Etapa 10.1.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 10.1.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- 6 y \sqrt{2}$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 6 y)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 19}$

Etapa 10.1.2.1.2

Aplique a regra do produto a $- 6 y$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} y^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 19}$

Etapa 10.1.2.2

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{36 y^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 19}$

Etapa 10.1.2.3

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 10.1.2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{36 y^{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 19}$

Etapa 10.1.2.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{36 y^{2} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 19}$

Etapa 10.1.2.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{36 y^{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 19}$

Etapa 10.1.2.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.1.2.3.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{36 y^{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 19}$

Etapa 10.1.2.3.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{36 y^{2} \cdot 2 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 19}$

Etapa 10.1.2.3.5

Avalie o expoente.

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{36 y^{2} \cdot 2 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 19}$

Etapa 10.1.2.4

Multiplique $2$ por $36$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{72 y^{2} - 4 u}}{2 \cdot 19}$

Etapa 10.1.3

Fatore $4$ de $72 y^{2} - 4 u$ .

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Etapa 10.1.3.1

Fatore $4$ de $72 y^{2}$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{4 (18 y^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 19}$

Etapa 10.1.3.2

Fatore $4$ de $- 4 u$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{4 (18 y^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 19}$

Etapa 10.1.3.3

Fatore $4$ de $4 (18 y^{2}) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{4 (18 y^{2} - u)}}{2 \cdot 19}$

Etapa 10.1.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $19 \cdot (y^{2} - 1)$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{4 (18 y^{2} - (19 \cdot (y^{2} - 1)))}}{2 \cdot 19}$

Etapa 10.1.5

Simplifique.

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Etapa 10.1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.1.5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{4 (18 y^{2} - (19 y^{2} + 19 \cdot - 1))}}{2 \cdot 19}$

Etapa 10.1.5.1.2

Multiplique $19$ por $- 1$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{4 (18 y^{2} - (19 y^{2} - 19))}}{2 \cdot 19}$

Etapa 10.1.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{4 (18 y^{2} - (19 y^{2}) + 19)}}{2 \cdot 19}$

Etapa 10.1.5.1.4

Multiplique $19$ por $- 1$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{4 (18 y^{2} - 19 y^{2} + 19)}}{2 \cdot 19}$

Etapa 10.1.5.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 19$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{4 (18 y^{2} - 19 y^{2} + 19)}}{2 \cdot 19}$

Etapa 10.1.5.2

Subtraia $19 y^{2}$ de $18 y^{2}$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 19)}}{2 \cdot 19}$

Etapa 10.1.6

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{2^{2} (- y^{2} + 19)}}{2 \cdot 19}$

Etapa 10.1.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm 2 \sqrt{- y^{2} + 19}}{2 \cdot 19}$

Etapa 10.2

Multiplique $2$ por $19$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm 2 \sqrt{- y^{2} + 19}}{38}$

Etapa 10.3

Simplifique $\frac{6 y \sqrt{2} \pm 2 \sqrt{- y^{2} + 19}}{38}$ .

$x = \frac{3 y \sqrt{2} \pm \sqrt{- y^{2} + 19}}{19}$

Etapa 11

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{3 y \sqrt{2} + \sqrt{- y^{2} + 19}}{19}$

$x = \frac{3 y \sqrt{2} - \sqrt{- y^{2} + 19}}{19}$