Álgebra Exemplos

$f (x) = x + \sqrt{x}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = x + \sqrt{x}$ como uma equação.

$y = x + \sqrt{x}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = y + \sqrt{y}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $y + \sqrt{y} = x$ .

$y + \sqrt{y} = x$

Etapa 3.2

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$\sqrt{y} = x - y$

Etapa 3.3

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{y}}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Etapa 3.4

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = {(x - y)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.2

Simplifique.

$y = {(x - y)}^{2}$

Etapa 3.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Simplifique ${(x - y)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.1

Reescreva ${(x - y)}^{2}$ como $(x - y) (x - y)$ .

$y = (x - y) (x - y)$

Etapa 3.4.3.1.2

Expanda $(x - y) (x - y)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = x (x - y) - y (x - y)$

Etapa 3.4.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = x \cdot x + x (- y) - y (x - y)$

Etapa 3.4.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)$

Etapa 3.4.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)$

Etapa 3.4.3.1.3.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = x^{2} - x y - y x - y (- y)$

Etapa 3.4.3.1.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y$

Etapa 3.4.3.1.3.1.4

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.3.1.4.1

Mova $y$ .

$y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)$

Etapa 3.4.3.1.3.1.4.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}$

Etapa 3.4.3.1.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}$

Etapa 3.4.3.1.3.1.6

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$y = x^{2} - x y - y x + y^{2}$

Etapa 3.4.3.1.3.2

Subtraia $y x$ de $- x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.3.2.1

Mova $y$ .

$y = x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}$

Etapa 3.4.3.1.3.2.2

Subtraia $x y$ de $- x y$ .

$y = x^{2} - 2 x y + y^{2}$

Etapa 3.5

Resolva $y$ .

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Etapa 3.5.1

Como $y$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} = y$

Etapa 3.5.2

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} - y = 0$

Etapa 3.5.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.5.4

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 2 x - 1$ e $c = x^{2}$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- (- 2 x - 1) \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- (- 2 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.5.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.5.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.5.1.4

Reescreva $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ como ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.5.1.5

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = - 2 x - 1$ e $b = 2 \cdot 1 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.5.1.6

Simplifique.

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Etapa 3.5.5.1.6.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 x) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.5.1.6.2

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(0 - 1) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.5.1.6.3

Subtraia $1$ de $0$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.5.1.6.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.5.1.6.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.5.1.6.6

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Etapa 3.5.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 3.5.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- (- 2 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.4

Reescreva $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ como ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.5

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = - 2 x - 1$ e $b = 2 \cdot 1 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.6

Simplifique.

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Etapa 3.5.6.1.6.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 x) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.6.2

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(0 - 1) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.6.3

Subtraia $1$ de $0$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.6.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.6.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.1.6.6

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Etapa 3.5.6.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Etapa 3.5.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 3.5.7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.7.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- (- 2 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.4

Reescreva $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ como ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.5

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = - 2 x - 1$ e $b = 2 \cdot 1 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.6

Simplifique.

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Etapa 3.5.7.1.6.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 x) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.6.2

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(0 - 1) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.6.3

Subtraia $1$ de $0$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.6.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.6.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.1.6.6

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Etapa 3.5.7.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Etapa 3.5.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ é o inverso de $f (x) = x + \sqrt{x}$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = x + \sqrt{x}$ e $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = x + \sqrt{x}$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$- 1 (- 4 x - 1) \geq 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Divida cada termo em $- 1 (- 4 x - 1) \geq 0$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.1.1

Divida cada termo em $- 1 (- 4 x - 1) \geq 0$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- 1 (- 4 x - 1)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Etapa 5.3.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{- 4 x - 1}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Etapa 5.3.2.1.2.2

Divida $- 4 x - 1$ por $1$ .

$- 4 x - 1 \leq \frac{0}{- 1}$

Etapa 5.3.2.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.1.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

$- 4 x - 1 \leq 0$

Etapa 5.3.2.2

Some $1$ aos dois lados da desigualdade.

$- 4 x \leq 1$

Etapa 5.3.2.3

Divida cada termo em $- 4 x \leq 1$ por $- 4$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.3.1

Divida cada termo em $- 4 x \leq 1$ por $- 4$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- 4 x}{- 4} \geq \frac{1}{- 4}$

Etapa 5.3.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 x}{- 4} \geq \frac{1}{- 4}$

Etapa 5.3.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{1}{- 4}$

Etapa 5.3.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x \geq - \frac{1}{4}$

Etapa 5.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

Etapa 5.4

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ não é igual ao intervalo de $f (x) = x + \sqrt{x}$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ não é um inverso de $f (x) = x + \sqrt{x}$ .

Não há inverso

Etapa 6