Álgebra Exemplos

$\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) = 1$

Etapa 1

Reescreva $\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$ como a diferença dos quadrados.

$\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Etapa 2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \sec (x)$ e $b = \tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$

Etapa 3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1

Simplifique $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ .

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Etapa 3.1.1

Expanda $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec (x) (\sec (x) - \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x)) = 1$

Etapa 3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x)) = 1$

Etapa 3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Etapa 3.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1.2.1

Combine os termos opostos em $\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$ .

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Etapa 3.1.2.1.1

Reorganize os fatores nos termos $\sec (x) (- \tan (x))$ e $\tan (x) \sec (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) - \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Etapa 3.1.2.1.2

Some $- \sec (x) \tan (x)$ e $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) + 0 + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Etapa 3.1.2.1.3

Some $\sec (x) \sec (x)$ e $0$ .

$\sec (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.2.1

Multiplique $\sec (x) \sec (x)$ .

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Etapa 3.1.2.2.1.1

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Etapa 3.1.2.2.1.2

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Etapa 3.1.2.2.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\sec (x)}^{1 + 1} + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Etapa 3.1.2.2.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\sec^{2} (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Etapa 3.1.2.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\sec^{2} (x) - \tan (x) \tan (x) = 1$

Etapa 3.1.2.2.3

Multiplique $- \tan (x) \tan (x)$ .

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Etapa 3.1.2.2.3.1

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) = 1$

Etapa 3.1.2.2.3.2

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) = 1$

Etapa 3.1.2.2.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} = 1$

Etapa 3.1.2.2.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) = 1$

Etapa 3.1.3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$1 = 1$

Etapa 4

Como $1 = 1$ , a equação sempre será verdadeira.

Sempre verdadeiro