Álgebra Exemplos

$\frac{16 a^{2} - 24 a + 9}{4 a^{2} + 17 a - 15} \div \frac{16 a^{2} - 9}{4 a^{2} + 11 a + 6}$

Etapa 1

Para dividir por uma fração, multiplique por seu inverso.

$\frac{16 a^{2} - 24 a + 9}{4 a^{2} + 17 a - 15} \cdot \frac{4 a^{2} + 11 a + 6}{16 a^{2} - 9}$

Etapa 2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva $16 a^{2}$ como ${(4 a)}^{2}$ .

$\frac{{(4 a)}^{2} - 24 a + 9}{4 a^{2} + 17 a - 15} \cdot \frac{4 a^{2} + 11 a + 6}{16 a^{2} - 9}$

Etapa 2.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{{(4 a)}^{2} - 24 a + 3^{2}}{4 a^{2} + 17 a - 15} \cdot \frac{4 a^{2} + 11 a + 6}{16 a^{2} - 9}$

Etapa 2.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$24 a = 2 \cdot (4 a) \cdot 3$

Etapa 2.4

Reescreva o polinômio.

$\frac{{(4 a)}^{2} - 2 \cdot (4 a) \cdot 3 + 3^{2}}{4 a^{2} + 17 a - 15} \cdot \frac{4 a^{2} + 11 a + 6}{16 a^{2} - 9}$

Etapa 2.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = 4 a$ e $b = 3$ .

$\frac{{(4 a - 3)}^{2}}{4 a^{2} + 17 a - 15} \cdot \frac{4 a^{2} + 11 a + 6}{16 a^{2} - 9}$

Etapa 3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot - 15 = - 60$ e cuja soma é $b = 17$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $17$ de $17 a$ .

$\frac{{(4 a - 3)}^{2}}{4 a^{2} + 17 (a) - 15} \cdot \frac{4 a^{2} + 11 a + 6}{16 a^{2} - 9}$

Etapa 3.1.2

Reescreva $17$ como $- 3$ mais $20$

$\frac{{(4 a - 3)}^{2}}{4 a^{2} + (- 3 + 20) a - 15} \cdot \frac{4 a^{2} + 11 a + 6}{16 a^{2} - 9}$

Etapa 3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(4 a - 3)}^{2}}{4 a^{2} - 3 a + 20 a - 15} \cdot \frac{4 a^{2} + 11 a + 6}{16 a^{2} - 9}$

Etapa 3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{{(4 a - 3)}^{2}}{(4 a^{2} - 3 a) + 20 a - 15} \cdot \frac{4 a^{2} + 11 a + 6}{16 a^{2} - 9}$

Etapa 3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{{(4 a - 3)}^{2}}{a (4 a - 3) + 5 (4 a - 3)} \cdot \frac{4 a^{2} + 11 a + 6}{16 a^{2} - 9}$

Etapa 3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 a - 3$ .

$\frac{{(4 a - 3)}^{2}}{(4 a - 3) (a + 5)} \cdot \frac{4 a^{2} + 11 a + 6}{16 a^{2} - 9}$

Etapa 4

Cancele o fator comum de ${(4 a - 3)}^{2}$ e $4 a - 3$ .

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Etapa 4.1

Fatore $4 a - 3$ de ${(4 a - 3)}^{2}$ .

$\frac{(4 a - 3) (4 a - 3)}{(4 a - 3) (a + 5)} \cdot \frac{4 a^{2} + 11 a + 6}{16 a^{2} - 9}$

Etapa 4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(4 a - 3) (4 a - 3)}{(4 a - 3) (a + 5)} \cdot \frac{4 a^{2} + 11 a + 6}{16 a^{2} - 9}$

Etapa 4.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4 a - 3}{a + 5} \cdot \frac{4 a^{2} + 11 a + 6}{16 a^{2} - 9}$

Etapa 5

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot 6 = 24$ e cuja soma é $b = 11$ .

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Etapa 5.1.1

Fatore $11$ de $11 a$ .

$\frac{4 a - 3}{a + 5} \cdot \frac{4 a^{2} + 11 (a) + 6}{16 a^{2} - 9}$

Etapa 5.1.2

Reescreva $11$ como $3$ mais $8$

$\frac{4 a - 3}{a + 5} \cdot \frac{4 a^{2} + (3 + 8) a + 6}{16 a^{2} - 9}$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 a - 3}{a + 5} \cdot \frac{4 a^{2} + 3 a + 8 a + 6}{16 a^{2} - 9}$

Etapa 5.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{4 a - 3}{a + 5} \cdot \frac{(4 a^{2} + 3 a) + 8 a + 6}{16 a^{2} - 9}$

Etapa 5.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{4 a - 3}{a + 5} \cdot \frac{a (4 a + 3) + 2 (4 a + 3)}{16 a^{2} - 9}$

Etapa 5.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 a + 3$ .

$\frac{4 a - 3}{a + 5} \cdot \frac{(4 a + 3) (a + 2)}{16 a^{2} - 9}$

Etapa 6

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva $16 a^{2}$ como ${(4 a)}^{2}$ .

$\frac{4 a - 3}{a + 5} \cdot \frac{(4 a + 3) (a + 2)}{{(4 a)}^{2} - 9}$

Etapa 6.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{4 a - 3}{a + 5} \cdot \frac{(4 a + 3) (a + 2)}{{(4 a)}^{2} - 3^{2}}$

Etapa 6.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 4 a$ e $b = 3$ .

$\frac{4 a - 3}{a + 5} \cdot \frac{(4 a + 3) (a + 2)}{(4 a + 3) (4 a - 3)}$

Etapa 7

Simplifique os termos.

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Etapa 7.1

Cancele o fator comum de $4 a - 3$ .

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Etapa 7.1.1

Fatore $4 a - 3$ de $(4 a + 3) (4 a - 3)$ .

$\frac{4 a - 3}{a + 5} \cdot \frac{(4 a + 3) (a + 2)}{(4 a - 3) (4 a + 3)}$

Etapa 7.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 a - 3}{a + 5} \cdot \frac{(4 a + 3) (a + 2)}{(4 a - 3) (4 a + 3)}$

Etapa 7.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{a + 5} \cdot \frac{(4 a + 3) (a + 2)}{4 a + 3}$

Etapa 7.2

Multiplique $\frac{1}{a + 5}$ por $\frac{(4 a + 3) (a + 2)}{4 a + 3}$ .

$\frac{(4 a + 3) (a + 2)}{(a + 5) (4 a + 3)}$

Etapa 7.3

Cancele o fator comum de $4 a + 3$ .

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Etapa 7.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(4 a + 3) (a + 2)}{(a + 5) (4 a + 3)}$

Etapa 7.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{a + 2}{a + 5}$