Álgebra Exemplos

$\frac{x^{3} - 4 x}{x^{2} + 2} \leq 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x^{3} - 4 x = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

Etapa 2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Fatore $x$ de $x^{3} - 4 x$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 4 x = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $x$ de $- 4 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ .

$x (x^{2} - 4) = 0$

Etapa 2.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Etapa 2.3

Fatore.

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Etapa 2.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Etapa 2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x + 2) (x - 2) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 6

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 6.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $x (x + 2) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 2, 2$

Etapa 8

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 2$

Etapa 9

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Etapa 10

Simplifique $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Etapa 10.1

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Etapa 10.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (2)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Etapa 10.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Etapa 11

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 11.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{2}$

Etapa 11.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{2}$

Etapa 11.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Etapa 12

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0, - 2, 2$

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Etapa 13

Consolide as soluções.

$x = 0, - 2, 2$

Etapa 14

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Etapa 15

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 15.1

Teste um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 15.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 15.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 4)}^{3} - 4 \cdot - 4}{{(- 4)}^{2} + 2} \leq 0$

Etapa 15.1.3

O lado esquerdo $- 2.\overline{6}$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 15.2

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 15.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 1$

Etapa 15.2.2

Substitua $x$ por $- 1$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 1)}^{3} - 4 \cdot - 1}{{(- 1)}^{2} + 2} \leq 0$

Etapa 15.2.3

O lado esquerdo $1$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 15.3

Teste um valor no intervalo $0 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 15.3.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1$

Etapa 15.3.2

Substitua $x$ por $1$ na desigualdade original.

$\frac{{(1)}^{3} - 4 \cdot 1}{{(1)}^{2} + 2} \leq 0$

Etapa 15.3.3

O lado esquerdo $- 1$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 15.4

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 15.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 15.4.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{{(4)}^{3} - 4 \cdot 4}{{(4)}^{2} + 2} \leq 0$

Etapa 15.4.3

O lado esquerdo $2.\overline{6}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 15.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadeiro

$x > 2$ Falso

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadeiro

$x > 2$ Falso

Etapa 16

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 2$ ou $0 \leq x \leq 2$

Etapa 17

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x \leq - 2 or 0 \leq x \leq 2$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 2] \cup [0, 2]$

Etapa 18