Álgebra Exemplos

$f (x) = \log_{3} (\frac{x}{3})$

Etapa 1

Encontre as assíntotas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre onde a expressão $\log_{3} (x) - 1$ é indefinida.

$x \leq 0$

Etapa 1.2

$\log_{3} (x) - 1$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $0$ a partir da esquerda e $\log_{3} (x) - 1$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $0$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = 0$

Etapa 1.3

Ignorando o algoritmo, considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 1.4

Não existem assíntotas horizontais porque $Q (x)$ é $1$ .

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 1.5

Não há assíntotas oblíquas presentes para as funções logarítmicas e trigonométricas.

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 1.6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = 0$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas verticais: $x = 0$

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 2

Encontre o ponto em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \log_{3} (\frac{1}{3})$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

A base do logaritmo $3$ de $\frac{1}{3}$ é $- 1$ .

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Etapa 2.2.1.1

Reescreva como uma equação.

$\log_{3} (\frac{1}{3}) = x$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva $\log_{3} (\frac{1}{3}) = x$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ não for igual a $1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{x} = \frac{1}{3}$

Etapa 2.2.1.3

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$3^{x} = 3^{- 1}$

Etapa 2.2.1.4

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$x = - 1$

Etapa 2.2.1.5

A variável $x$ é igual a $- 1$ .

$f (1) = - 1$

Etapa 2.2.2

A resposta final é $- 1$ .

$- 1$

Etapa 2.3

Converta $- 1$ em decimal.

$y = - 1$

Etapa 3

Encontre o ponto em $x = 3$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = \log_{3} (\frac{3}{3})$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Divida $3$ por $3$ .

$f (3) = \log_{3} (1)$

Etapa 3.2.2

A base do logaritmo $3$ de $1$ é $0$ .

$f (3) = 0$

Etapa 3.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 3.3

Converta $0$ em decimal.

$y = 0$

Etapa 4

Encontre o ponto em $x = 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $9$ na expressão.

$f (9) = \log_{3} (\frac{9}{3})$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

A base do logaritmo $3$ de $\frac{9}{3}$ é $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Reescreva como uma equação.

$\log_{3} (\frac{9}{3}) = x$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva $\log_{3} (\frac{9}{3}) = x$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ não for igual a $1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{x} = \frac{9}{3}$

Etapa 4.2.1.3

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$3^{x} = 3^{1}$

Etapa 4.2.1.4

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$x = 1$

Etapa 4.2.1.5

A variável $x$ é igual a $1$ .

$f (9) = 1$

Etapa 4.2.2

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 4.3

Converta $1$ em decimal.

$y = 1$

Etapa 5

A função do logaritmo pode ser representada graficamente usando a assíntota vertical em $x = 0$ e os pontos $(1, - 1), (3, 0), (9, 1)$ .

Assíntota vertical: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & - 1 \\ 3 & 0 \\ 9 & 1 \end{array}$

Etapa 6