Álgebra Exemplos

$\log_{2} (2 w^{2}) - \log_{2} (w + 3) = 3$

Etapa 1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{2 w^{2}}{w + 3}) = 3$

Etapa 2

Reescreva $\log_{2} (\frac{2 w^{2}}{w + 3}) = 3$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{3} = \frac{2 w^{2}}{w + 3}$

Etapa 3

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$2 w^{2} = 2^{3} (w + 3)$

Etapa 4

Simplifique $2^{3} (w + 3)$ .

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Etapa 4.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$2 w^{2} = 8 (w + 3)$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 w^{2} = 8 w + 8 \cdot 3$

Etapa 4.3

Multiplique $8$ por $3$ .

$2 w^{2} = 8 w + 24$

Etapa 5

Subtraia $8 w$ dos dois lados da equação.

$2 w^{2} - 8 w = 24$

Etapa 6

Fatore $2 w$ de $2 w^{2} - 8 w$ .

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Etapa 6.1

Fatore $2 w$ de $2 w^{2}$ .

$2 w (w) - 8 w = 24$

Etapa 6.2

Fatore $2 w$ de $- 8 w$ .

$2 w (w) + 2 w (- 4) = 24$

Etapa 6.3

Fatore $2 w$ de $2 w (w) + 2 w (- 4)$ .

$2 w (w - 4) = 24$

Etapa 7

Divida cada termo em $2 w (w - 4) = 24$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $2 w (w - 4) = 24$ por $2$ .

$\frac{2 w (w - 4)}{2} = \frac{24}{2}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 w (w - 4)}{2} = \frac{24}{2}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $w (w - 4)$ por $1$ .

$w (w - 4) = \frac{24}{2}$

Etapa 7.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$w \cdot w + w \cdot - 4 = \frac{24}{2}$

Etapa 7.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.2.3.1

Multiplique $w$ por $w$ .

$w^{2} + w \cdot - 4 = \frac{24}{2}$

Etapa 7.2.3.2

Mova $- 4$ para a esquerda de $w$ .

$w^{2} - 4 w = \frac{24}{2}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Divida $24$ por $2$ .

$w^{2} - 4 w = 12$

Etapa 8

Subtraia $12$ dos dois lados da equação.

$w^{2} - 4 w - 12 = 0$

Etapa 9

Fatore $w^{2} - 4 w - 12$ usando o método AC.

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Etapa 9.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $- 4$ .

$- 6, 2$

Etapa 9.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(w - 6) (w + 2) = 0$

Etapa 10

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$w - 6 = 0$

$w + 2 = 0$

Etapa 11

Defina $w - 6$ como igual a $0$ e resolva para $w$ .

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Etapa 11.1

Defina $w - 6$ como igual a $0$ .

$w - 6 = 0$

Etapa 11.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$w = 6$

Etapa 12

Defina $w + 2$ como igual a $0$ e resolva para $w$ .

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Etapa 12.1

Defina $w + 2$ como igual a $0$ .

$w + 2 = 0$

Etapa 12.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$w = - 2$

Etapa 13

A solução final são todos os valores que tornam $(w - 6) (w + 2) = 0$ verdadeiro.

$w = 6, - 2$