Álgebra Exemplos

$2^{x} + 2^{- x} = \frac{5}{2}$

Etapa 1

Reescreva $2^{- x}$ como exponenciação.

$2^{x} + {(2^{x})}^{- 1} = \frac{5}{2}$

Etapa 2

Substitua $u$ por $2^{x}$ .

$u + u^{- 1} = \frac{5}{2}$

Etapa 3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = \frac{5}{2}$

Etapa 4

Resolva $u$ .

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Etapa 4.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 4.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, u, 2$

Etapa 4.1.2

Como $1, u, 2$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $1, u, 2$ 1) e, depois, o da parte variável $1, u, 2$ .

Etapa 4.1.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 4.1.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 4.1.5

Como $2$ não tem fatores além de $1$ e $2$ .

$2$ é um número primo

Etapa 4.1.6

O MMC de $1, 1, 2$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$2$

Etapa 4.1.7

O fator de $u^{1}$ é o próprio $u$ .

$u^{1} = u$

$u$ ocorre $1$ vez.

Etapa 4.1.8

O MMC de $u^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$u$

Etapa 4.1.9

O MMC de $1, u, 2$ é a parte numérica $2$ multiplicada pela parte variável.

$2 u$

Etapa 4.2

Multiplique cada termo em $u + \frac{1}{u} = \frac{5}{2}$ por $2 u$ para eliminar as frações.

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Etapa 4.2.1

Multiplique cada termo em $u + \frac{1}{u} = \frac{5}{2}$ por $2 u$ .

$u (2 u) + \frac{1}{u} (2 u) = \frac{5}{2} (2 u)$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 u \cdot u + \frac{1}{u} (2 u) = \frac{5}{2} (2 u)$

Etapa 4.2.2.1.2

Multiplique $u$ por $u$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.2.1.2.1

Mova $u$ .

$2 (u \cdot u) + \frac{1}{u} (2 u) = \frac{5}{2} (2 u)$

Etapa 4.2.2.1.2.2

Multiplique $u$ por $u$ .

$2 u^{2} + \frac{1}{u} (2 u) = \frac{5}{2} (2 u)$

Etapa 4.2.2.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 u^{2} + 2 \frac{1}{u} u = \frac{5}{2} (2 u)$

Etapa 4.2.2.1.4

Combine $2$ e $\frac{1}{u}$ .

$2 u^{2} + \frac{2}{u} u = \frac{5}{2} (2 u)$

Etapa 4.2.2.1.5

Cancele o fator comum de $u$ .

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Etapa 4.2.2.1.5.1

Cancele o fator comum.

$2 u^{2} + \frac{2}{u} u = \frac{5}{2} (2 u)$

Etapa 4.2.2.1.5.2

Reescreva a expressão.

$2 u^{2} + 2 = \frac{5}{2} (2 u)$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.3.1.1

Fatore $2$ de $2 u$ .

$2 u^{2} + 2 = \frac{5}{2} (2 (u))$

Etapa 4.2.3.1.2

Cancele o fator comum.

$2 u^{2} + 2 = \frac{5}{2} (2 u)$

Etapa 4.2.3.1.3

Reescreva a expressão.

$2 u^{2} + 2 = 5 u$

Etapa 4.3

Resolva a equação.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $5 u$ dos dois lados da equação.

$2 u^{2} + 2 - 5 u = 0$

Etapa 4.3.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 4.3.2.1

Reordene os termos.

$2 u^{2} - 5 u + 2 = 0$

Etapa 4.3.2.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ e cuja soma é $b = - 5$ .

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Etapa 4.3.2.2.1

Fatore $- 5$ de $- 5 u$ .

$2 u^{2} - 5 u + 2 = 0$

Etapa 4.3.2.2.2

Reescreva $- 5$ como $- 1$ mais $- 4$

$2 u^{2} + (- 1 - 4) u + 2 = 0$

Etapa 4.3.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 u^{2} - 1 u - 4 u + 2 = 0$

Etapa 4.3.2.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.3.2.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(2 u^{2} - 1 u) - 4 u + 2 = 0$

Etapa 4.3.2.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (2 u - 1) - 2 (2 u - 1) = 0$

Etapa 4.3.2.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u - 2) = 0$

Etapa 4.3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u - 2 = 0$

Etapa 4.3.4

Defina $2 u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 4.3.4.1

Defina $2 u - 1$ como igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Etapa 4.3.4.2

Resolva $2 u - 1 = 0$ para $u$ .

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Etapa 4.3.4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 u = 1$

Etapa 4.3.4.2.2

Divida cada termo em $2 u = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 4.3.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 u = 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.4.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.5

Defina $u - 2$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 4.3.5.1

Defina $u - 2$ como igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

Etapa 4.3.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$u = 2$

Etapa 4.3.6

A solução final são todos os valores que tornam $(2 u - 1) (u - 2) = 0$ verdadeiro.

$u = \frac{1}{2}, 2$

Etapa 5

Substitua $\frac{1}{2}$ por $u$ em $u = 2^{x}$ .

$\frac{1}{2} = 2^{x}$

Etapa 6

Resolva $\frac{1}{2} = 2^{x}$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $2^{x} = \frac{1}{2}$ .

$2^{x} = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$2^{x} = \frac{1}{2^{1}}$

Etapa 6.3

Mova $2^{1}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2^{x} = 2^{- 1}$

Etapa 6.4

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$x = - 1$

Etapa 7

Substitua $2$ por $u$ em $u = 2^{x}$ .

$2 = 2^{x}$

Etapa 8

Resolva $2 = 2^{x}$ .

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Etapa 8.1

Reescreva a equação como $2^{x} = 2$ .

$2^{x} = 2$

Etapa 8.2

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$2^{x} = 2^{1}$

Etapa 8.3

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$x = 1$

Etapa 9

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = - 1, 1$