Álgebra Exemplos

$f (x) = - \frac{1}{a} (3 x + 2) (x - 3)$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $- \frac{3 x^{2}}{a} + \frac{7 x}{a} + \frac{6}{a}$ é indefinida.

$x = 0$

Etapa 2

As assíntotas verticais ocorrem em áreas de descontinuidade infinita.

Nenhuma assíntota vertical

Etapa 3

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 4

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 0$

Etapa 5

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 6

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Combine.

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Etapa 6.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 3 x^{2} + 7 x}{a} + \frac{6}{a}$

Etapa 6.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 3 x^{2} + 7 x + 6}{a}$

Etapa 6.1.3

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 3 \cdot 6 = - 18$ e cuja soma é $b = 7$ .

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Etapa 6.1.3.1.1

Fatore $7$ de $7 x$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 7 (x) + 6}{a}$

Etapa 6.1.3.1.2

Reescreva $7$ como $- 2$ mais $9$

$\frac{- 3 x^{2} + (- 2 + 9) x + 6}{a}$

Etapa 6.1.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x + 9 x + 6}{a}$

Etapa 6.1.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(- 3 x^{2} - 2 x) + 9 x + 6}{a}$

Etapa 6.1.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (- 3 x - 2) - 3 (- 3 x - 2)}{a}$

Etapa 6.1.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 3 x - 2$ .

$\frac{(- 3 x - 2) (x - 3)}{a}$

Etapa 6.1.4

Fatore $- 1$ de $- 3 x$ .

$\frac{(- (3 x) - 2) (x - 3)}{a}$

Etapa 6.1.5

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{(- (3 x) - 1 (2)) (x - 3)}{a}$

Etapa 6.1.6

Fatore $- 1$ de $- (3 x) - 1 (2)$ .

$\frac{- (3 x + 2) (x - 3)}{a}$

Etapa 6.1.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.7.1

Reescreva $- (3 x + 2)$ como $- 1 (3 x + 2)$ .

$\frac{- 1 (3 x + 2) (x - 3)}{a}$

Etapa 6.1.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(3 x + 2) (x - 3)}{a}$

Etapa 6.1.8

Simplifique.

$\frac{- 3 x^{2} + 7 x + 6}{a}$

Etapa 6.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 3 \cdot 6 = - 18$ e cuja soma é $b = 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1

Fatore $7$ de $7 x$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 7 (x) + 6}{a}$

Etapa 6.2.1.1.2

Reescreva $7$ como $- 2$ mais $9$

$\frac{- 3 x^{2} + (- 2 + 9) x + 6}{a}$

Etapa 6.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x + 9 x + 6}{a}$

Etapa 6.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(- 3 x^{2} - 2 x) + 9 x + 6}{a}$

Etapa 6.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (- 3 x - 2) - 3 (- 3 x - 2)}{a}$

Etapa 6.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 3 x - 2$ .

$\frac{(- 3 x - 2) (x - 3)}{a}$

Etapa 6.2.2

Fatore $- 1$ de $- 3 x$ .

$\frac{(- (3 x) - 2) (x - 3)}{a}$

Etapa 6.2.3

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{(- (3 x) - 1 (2)) (x - 3)}{a}$

Etapa 6.2.4

Fatore $- 1$ de $- (3 x) - 1 (2)$ .

$\frac{- (3 x + 2) (x - 3)}{a}$

Etapa 6.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.5.1

Reescreva $- (3 x + 2)$ como $- 1 (3 x + 2)$ .

$\frac{- 1 (3 x + 2) (x - 3)}{a}$

Etapa 6.2.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(3 x + 2) (x - 3)}{a}$

Etapa 6.3

Expanda $- (3 x + 2) (x - 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Negative $3 x + 2$ .

$\frac{- (3 x + 2) (x - 3)}{a}$

Etapa 6.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(- (3 x) - 1 \cdot 2) (x - 3)}{a}$

Etapa 6.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 3 x (x - 3) - 1 \cdot (2 (x - 3))}{a}$

Etapa 6.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 3 - 1 \cdot (2 (x - 3))}{a}$

Etapa 6.3.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 3 - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

Etapa 6.3.6

Remova os parênteses.

$\frac{- 1 \cdot (3 x \cdot x) - 3 x \cdot - 3 - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

Etapa 6.3.7

Remova os parênteses.

$\frac{- 1 \cdot (3 x \cdot x) - 1 \cdot (3 x) \cdot - 3 - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

Etapa 6.3.8

Mova $x$ .

$\frac{- 1 \cdot (3 x \cdot x) - 1 \cdot 3 \cdot (- 3 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

Etapa 6.3.9

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 3 x \cdot x - 1 \cdot 3 \cdot (- 3 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

Etapa 6.3.10

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 3 (x \cdot x) - 1 \cdot 3 \cdot (- 3 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

Etapa 6.3.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 3 (x \cdot x) - 1 \cdot 3 \cdot (- 3 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

Etapa 6.3.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 3 x^{1 + 1} - 1 \cdot 3 \cdot (- 3 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

Etapa 6.3.13

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 1 \cdot 3 \cdot (- 3 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

Etapa 6.3.14

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 3 \cdot (- 3 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

Etapa 6.3.15

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 9 x - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

Etapa 6.3.16

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 9 x - 2 x - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

Etapa 6.3.17

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 9 x - 2 x - 2 \cdot - 3}{a}$

Etapa 6.3.18

Multiplique $- 2$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 9 x - 2 x + 6}{a}$

Etapa 6.3.19

Subtraia $2 x$ de $9 x$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 7 x + 6}{a}$

Etapa 6.4

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$a$

$3 x^{2}$

$7 x$

$6$

Etapa 6.5

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 3 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $a$ .

		-	$\frac{3 x^{2}}{a}$
	$a$	-	$3 x^{2}$	+	$7 x$	+	$6$

Etapa 6.6

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

	-	$\frac{3 x^{2}}{a}$
$a$	-	$3 x^{2}$	+	$7 x$	+	$6$
	-	$3 x^{2}$

Etapa 6.7

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 3 x^{2}$ .

	-	$\frac{3 x^{2}}{a}$
$a$	-	$3 x^{2}$	+	$7 x$	+	$6$
	+	$3 x^{2}$

Etapa 6.8

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

	-	$\frac{3 x^{2}}{a}$
$a$	-	$3 x^{2}$	+	$7 x$	+	$6$
	+	$3 x^{2}$
		$0$

Etapa 6.9

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

	-	$\frac{3 x^{2}}{a}$
$a$	-	$3 x^{2}$	+	$7 x$	+	$6$
	+	$3 x^{2}$
		$0$	+	$7 x$

Etapa 6.10

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $7 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $a$ .

	-	$\frac{3 x^{2}}{a}$	+	$\frac{7 x}{a}$
$a$	-	$3 x^{2}$	+	$7 x$	+	$6$
	+	$3 x^{2}$
		$0$	+	$7 x$

Etapa 6.11

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

	-	$\frac{3 x^{2}}{a}$	+	$\frac{7 x}{a}$
$a$	-	$3 x^{2}$	+	$7 x$	+	$6$
	+	$3 x^{2}$
		$0$	+	$7 x$
			+	$7 x$

Etapa 6.12

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $7 x$ .

	-	$\frac{3 x^{2}}{a}$	+	$\frac{7 x}{a}$
$a$	-	$3 x^{2}$	+	$7 x$	+	$6$
	+	$3 x^{2}$
		$0$	+	$7 x$
			-	$7 x$

Etapa 6.13

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

	-	$\frac{3 x^{2}}{a}$	+	$\frac{7 x}{a}$
$a$	-	$3 x^{2}$	+	$7 x$	+	$6$
	+	$3 x^{2}$
		$0$	+	$7 x$
			-	$7 x$
				$0$

Etapa 6.14

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

	-	$\frac{3 x^{2}}{a}$	+	$\frac{7 x}{a}$
$a$	-	$3 x^{2}$	+	$7 x$	+	$6$
	+	$3 x^{2}$
		$0$	+	$7 x$
			-	$7 x$
				$0$	+	$6$

Etapa 6.15

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$- \frac{3 x^{2}}{a} + \frac{7 x}{a} + \frac{6}{a}$

Etapa 6.16

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = - \frac{3 x^{2}}{a} + \frac{7 x}{a}$

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Nenhuma assíntota vertical

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = - \frac{3 x^{2}}{a} + \frac{7 x}{a}$

Etapa 8