Álgebra Exemplos

$- \frac{1}{2} x^{2} + 4 x \leq 1$

Etapa 1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + 4 x \leq 1$

Etapa 2

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$- \frac{x^{2}}{2} + 4 x - 1 \leq 0$

Etapa 3

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $2$ . Depois, simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (4 x) + 2 \cdot - 1 \leq 0$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x^{2}}{2}$ para o numerador.

$2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (4 x) + 2 \cdot - 1 \leq 0$

Etapa 3.2.1.2

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (4 x) + 2 \cdot - 1 \leq 0$

Etapa 3.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- x^{2} + 2 (4 x) + 2 \cdot - 1 \leq 0$

Etapa 3.2.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$- x^{2} + 8 x + 2 \cdot - 1 \leq 0$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- x^{2} + 8 x - 2 \leq 0$

Etapa 4

Converta a desigualdade em uma equação.

$- x^{2} + 8 x - 2 = 0$

Etapa 5

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 6

Substitua os valores $a = - 1$ , $b = 8$ e $c = - 2$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 2)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 1 \cdot - 2}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 1 \cdot - 2$ .

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Etapa 7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 \cdot - 2}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.1.2.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 8}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.1.3

Subtraia $8$ de $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.1.4

Reescreva $56$ como $2^{2} \cdot 14$ .

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Etapa 7.1.4.1

Fatore $4$ de $56$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$

Etapa 7.3

Simplifique $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{14}$

Etapa 8

Consolide as soluções.

$x = 4 + \sqrt{14}, 4 - \sqrt{14}$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 4 - \sqrt{14}$

$4 - \sqrt{14} < x < 4 + \sqrt{14}$

$x > 4 + \sqrt{14}$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $x < 4 - \sqrt{14}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 4 - \sqrt{14}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 10.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$- \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{2} + 4 (0) \leq 1$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $0$ é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $4 - \sqrt{14} < x < 4 + \sqrt{14}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $4 - \sqrt{14} < x < 4 + \sqrt{14}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 10.2.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$- \frac{1}{2} \cdot {(4)}^{2} + 4 (4) \leq 1$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $8$ é maior do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $x > 4 + \sqrt{14}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4 + \sqrt{14}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 10$

Etapa 10.3.2

Substitua $x$ por $10$ na desigualdade original.

$- \frac{1}{2} \cdot {(10)}^{2} + 4 (10) \leq 1$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $- 10$ é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 4 - \sqrt{14}$ Verdadeiro

$4 - \sqrt{14} < x < 4 + \sqrt{14}$ Falso

$x > 4 + \sqrt{14}$ Verdadeiro

$x < 4 - \sqrt{14}$ Verdadeiro

$4 - \sqrt{14} < x < 4 + \sqrt{14}$ Falso

$x > 4 + \sqrt{14}$ Verdadeiro

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq 4 - \sqrt{14}$ ou $x \geq 4 + \sqrt{14}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x \leq 4 - \sqrt{14} or x \geq 4 + \sqrt{14}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 4 - \sqrt{14}] \cup [4 + \sqrt{14}, \infty)$

Etapa 13