Álgebra Exemplos

$5 (\frac{5 + k}{2}) - 4 = {(\frac{5 + k}{2})}^{2} - k (\frac{5 + k}{2})$

Etapa 1

Como $k$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

${(\frac{5 + k}{2})}^{2} - k \frac{5 + k}{2} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Etapa 2

Simplifique ${(\frac{5 + k}{2})}^{2} - k \frac{5 + k}{2}$ .

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{5 + k}{2}$ .

$\frac{{(5 + k)}^{2}}{2^{2}} - k \frac{5 + k}{2} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Etapa 2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{{(5 + k)}^{2}}{4} - k \frac{5 + k}{2} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Etapa 2.1.3

Combine $\frac{5 + k}{2}$ e $k$ .

$\frac{{(5 + k)}^{2}}{4} - \frac{(5 + k) k}{2} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Etapa 2.2

Para escrever $- \frac{(5 + k) k}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(5 + k)}^{2}}{4} - \frac{(5 + k) k}{2} \cdot \frac{2}{2} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{(5 + k) k}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(5 + k)}^{2}}{4} - \frac{(5 + k) k \cdot 2}{2 \cdot 2} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Etapa 2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{{(5 + k)}^{2}}{4} - \frac{(5 + k) k \cdot 2}{4} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(5 + k)}^{2} - (5 + k) k \cdot 2}{4} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1

Fatore $5 + k$ de ${(5 + k)}^{2} - (5 + k) k \cdot 2$ .

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Etapa 2.5.1.1

Fatore $5 + k$ de ${(5 + k)}^{2}$ .

$\frac{(5 + k) (5 + k) - (5 + k) k \cdot 2}{4} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Etapa 2.5.1.2

Fatore $5 + k$ de $- (5 + k) k \cdot 2$ .

$\frac{(5 + k) (5 + k) + (5 + k) (- 1 k \cdot 2)}{4} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Etapa 2.5.1.3

Fatore $5 + k$ de $(5 + k) (5 + k) + (5 + k) (- 1 k \cdot 2)$ .

$\frac{(5 + k) (5 + k - 1 k \cdot 2)}{4} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Etapa 2.5.2

Reescreva $- 1 k$ como $- k$ .

$\frac{(5 + k) (5 + k - k \cdot 2)}{4} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Etapa 2.5.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{(5 + k) (5 + k - 2 k)}{4} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Etapa 2.5.4

Subtraia $2 k$ de $k$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Etapa 3

Simplifique $5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$ .

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Etapa 3.1

Combine $5$ e $\frac{5 + k}{2}$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = \frac{5 (5 + k)}{2} - 4$

Etapa 3.2

Para escrever $- 4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = \frac{5 (5 + k)}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.3.1

Combine $- 4$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = \frac{5 (5 + k)}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = \frac{5 (5 + k) - 4 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = \frac{5 \cdot 5 + 5 k - 4 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $5$ por $5$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = \frac{25 + 5 k - 4 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.4.3

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = \frac{25 + 5 k - 8}{2}$

Etapa 3.4.4

Subtraia $8$ de $25$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = \frac{5 k + 17}{2}$

Etapa 4

Mova todos os termos que contêm $k$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1

Subtraia $\frac{5 k + 17}{2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} - \frac{5 k + 17}{2} = 0$

Etapa 4.2

Para escrever $- \frac{5 k + 17}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} - \frac{5 k + 17}{2} \cdot \frac{2}{2} = 0$

Etapa 4.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.3.1

Multiplique $\frac{5 k + 17}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} - \frac{(5 k + 17) \cdot 2}{2 \cdot 2} = 0$

Etapa 4.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} - \frac{(5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(5 + k) (5 - k) - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Etapa 4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1

Expanda $(5 + k) (5 - k)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 (5 - k) + k (5 - k) - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Etapa 4.5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 \cdot 5 + 5 (- k) + k (5 - k) - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Etapa 4.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 \cdot 5 + 5 (- k) + k \cdot 5 + k (- k) - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Etapa 4.5.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.5.2.1.1

Multiplique $5$ por $5$ .

$\frac{25 + 5 (- k) + k \cdot 5 + k (- k) - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Etapa 4.5.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{25 - 5 k + k \cdot 5 + k (- k) - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Etapa 4.5.2.1.3

Mova $5$ para a esquerda de $k$ .

$\frac{25 - 5 k + 5 \cdot k + k (- k) - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Etapa 4.5.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{25 - 5 k + 5 k - k \cdot k - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Etapa 4.5.2.1.5

Multiplique $k$ por $k$ somando os expoentes.

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Etapa 4.5.2.1.5.1

Mova $k$ .

$\frac{25 - 5 k + 5 k - (k \cdot k) - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Etapa 4.5.2.1.5.2

Multiplique $k$ por $k$ .

$\frac{25 - 5 k + 5 k - k^{2} - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Etapa 4.5.2.2

Some $- 5 k$ e $5 k$ .

$\frac{25 + 0 - k^{2} - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Etapa 4.5.2.3

Some $25$ e $0$ .

$\frac{25 - k^{2} - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Etapa 4.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{25 - k^{2} + (- (5 k) - 1 \cdot 17) \cdot 2}{4} = 0$

Etapa 4.5.4

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{25 - k^{2} + (- 5 k - 1 \cdot 17) \cdot 2}{4} = 0$

Etapa 4.5.5

Multiplique $- 1$ por $17$ .

$\frac{25 - k^{2} + (- 5 k - 17) \cdot 2}{4} = 0$

Etapa 4.5.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{25 - k^{2} - 5 k \cdot 2 - 17 \cdot 2}{4} = 0$

Etapa 4.5.7

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$\frac{25 - k^{2} - 10 k - 17 \cdot 2}{4} = 0$

Etapa 4.5.8

Multiplique $- 17$ por $2$ .

$\frac{25 - k^{2} - 10 k - 34}{4} = 0$

Etapa 4.5.9

Subtraia $34$ de $25$ .

$\frac{- k^{2} - 10 k - 9}{4} = 0$

Etapa 4.5.10

Fatore por agrupamento.

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Etapa 4.5.10.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 9 = 9$ e cuja soma é $b = - 10$ .

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Etapa 4.5.10.1.1

Fatore $- 10$ de $- 10 k$ .

$\frac{- k^{2} - 10 (k) - 9}{4} = 0$

Etapa 4.5.10.1.2

Reescreva $- 10$ como $- 1$ mais $- 9$

$\frac{- k^{2} + (- 1 - 9) k - 9}{4} = 0$

Etapa 4.5.10.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- k^{2} - 1 k - 9 k - 9}{4} = 0$

Etapa 4.5.10.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.5.10.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(- k^{2} - 1 k) - 9 k - 9}{4} = 0$

Etapa 4.5.10.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{k (- k - 1) + 9 (- k - 1)}{4} = 0$

Etapa 4.5.10.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- k - 1$ .

$\frac{(- k - 1) (k + 9)}{4} = 0$

Etapa 4.6

Fatore $- 1$ de $- k$ .

$\frac{(- (k) - 1) (k + 9)}{4} = 0$

Etapa 4.7

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (k) - 1 (1)) (k + 9)}{4} = 0$

Etapa 4.8

Fatore $- 1$ de $- (k) - 1 (1)$ .

$\frac{- (k + 1) (k + 9)}{4} = 0$

Etapa 4.9

Reescreva $- (k + 1)$ como $- 1 (k + 1)$ .

$\frac{- 1 (k + 1) (k + 9)}{4} = 0$

Etapa 4.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(k + 1) (k + 9)}{4} = 0$

Etapa 5

Defina o numerador como igual a zero.

$(k + 1) (k + 9) = 0$

Etapa 6

Resolva a equação para $k$ .

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Etapa 6.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$k + 1 = 0$

$k + 9 = 0$

Etapa 6.2

Defina $k + 1$ como igual a $0$ e resolva para $k$ .

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Etapa 6.2.1

Defina $k + 1$ como igual a $0$ .

$k + 1 = 0$

Etapa 6.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$k = - 1$

Etapa 6.3

Defina $k + 9$ como igual a $0$ e resolva para $k$ .

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Etapa 6.3.1

Defina $k + 9$ como igual a $0$ .

$k + 9 = 0$

Etapa 6.3.2

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$k = - 9$

Etapa 6.4

A solução final são todos os valores que tornam $(k + 1) (k + 9) = 0$ verdadeiro.

$k = - 1, - 9$