Álgebra Exemplos

$\log_{8} (w + 12) + \log_{8} (w) = 3 \cdot \log_{8} (4)$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{8} ((w + 12) w) = 3 \cdot \log_{8} (4)$

Etapa 1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{8} (w \cdot w + 12 w) = 3 \cdot \log_{8} (4)$

Etapa 1.3

Multiplique $w$ por $w$ .

$\log_{8} (w^{2} + 12 w) = 3 \cdot \log_{8} (4)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

A base do logaritmo $8$ de $4$ é $\frac{2}{3}$ .

$\log_{8} (w^{2} + 12 w) = 3 \cdot \frac{2}{3}$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum.

$\log_{8} (w^{2} + 12 w) = 3 \cdot \frac{2}{3}$

Etapa 2.2.2

Reescreva a expressão.

$\log_{8} (w^{2} + 12 w) = 2$

Etapa 3

Reescreva $\log_{8} (w^{2} + 12 w) = 2$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$8^{2} = w^{2} + 12 w$

Etapa 4

Resolva $w$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $w^{2} + 12 w = 8^{2}$ .

$w^{2} + 12 w = 8^{2}$

Etapa 4.2

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$w^{2} + 12 w = 64$

Etapa 4.3

Subtraia $64$ dos dois lados da equação.

$w^{2} + 12 w - 64 = 0$

Etapa 4.4

Fatore $w^{2} + 12 w - 64$ usando o método AC.

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Etapa 4.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 64$ e cuja soma é $12$ .

$- 4, 16$

Etapa 4.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(w - 4) (w + 16) = 0$

Etapa 4.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$w - 4 = 0$

$w + 16 = 0$

Etapa 4.6

Defina $w - 4$ como igual a $0$ e resolva para $w$ .

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Etapa 4.6.1

Defina $w - 4$ como igual a $0$ .

$w - 4 = 0$

Etapa 4.6.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$w = 4$

Etapa 4.7

Defina $w + 16$ como igual a $0$ e resolva para $w$ .

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Etapa 4.7.1

Defina $w + 16$ como igual a $0$ .

$w + 16 = 0$

Etapa 4.7.2

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$w = - 16$

Etapa 4.8

A solução final são todos os valores que tornam $(w - 4) (w + 16) = 0$ verdadeiro.

$w = 4, - 16$

Etapa 5

Exclua as soluções que não tornam $\log_{8} (w + 12) + \log_{8} (w) = 3 \cdot \log_{8} (4)$ verdadeira.

$w = 4$