Álgebra Exemplos

$\log_{7} (4 x^{2} - 1) - \log_{7} (3 x + 6) = 0$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{7} (\frac{4 x^{2} - 1}{3 x + 6}) = 0$

Etapa 1.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.1

Reescreva $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$\log_{7} (\frac{{(2 x)}^{2} - 1}{3 x + 6}) = 0$

Etapa 1.2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\log_{7} (\frac{{(2 x)}^{2} - 1^{2}}{3 x + 6}) = 0$

Etapa 1.2.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2 x$ e $b = 1$ .

$\log_{7} (\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{3 x + 6}) = 0$

Etapa 1.3

Fatore $3$ de $3 x + 6$ .

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Etapa 1.3.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\log_{7} (\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{3 (x) + 6}) = 0$

Etapa 1.3.2

Fatore $3$ de $6$ .

$\log_{7} (\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{3 x + 3 \cdot 2}) = 0$

Etapa 1.3.3

Fatore $3$ de $3 x + 3 \cdot 2$ .

$\log_{7} (\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{3 (x + 2)}) = 0$

Etapa 2

Reescreva $\log_{7} (\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{3 (x + 2)}) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$7^{0} = \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{3 (x + 2)}$

Etapa 3

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$(2 x + 1) (2 x - 1) = 7^{0} (3 (x + 2))$

Etapa 4

Simplifique $7^{0} (3 (x + 2))$ .

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Etapa 4.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) = 1 (3 (x + 2))$

Etapa 4.1.2

Multiplique $3 (x + 2)$ por $1$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) = 3 (x + 2)$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 x + 1) (2 x - 1) = 3 x + 3 \cdot 2$

Etapa 4.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) = 3 x + 6$

Etapa 5

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.1

Subtraia $3 x$ dos dois lados da equação.

$(2 x + 1) (2 x - 1) - 3 x = 6$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Expanda $(2 x + 1) (2 x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1) - 3 x = 6$

Etapa 5.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1) - 3 x = 6$

Etapa 5.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 - 3 x = 6$

Etapa 5.2.2

Combine os termos opostos em $2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1$ .

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Etapa 5.2.2.1

Reorganize os fatores nos termos $2 x \cdot - 1$ e $1 (2 x)$ .

$2 x (2 x) - 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 - 3 x = 6$

Etapa 5.2.2.2

Some $- 1 \cdot 2 x$ e $1 \cdot 2 x$ .

$2 x (2 x) + 0 + 1 \cdot - 1 - 3 x = 6$

Etapa 5.2.2.3

Some $2 x (2 x)$ e $0$ .

$2 x (2 x) + 1 \cdot - 1 - 3 x = 6$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot - 1 - 3 x = 6$

Etapa 5.2.3.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.3.2.1

Mova $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x) + 1 \cdot - 1 - 3 x = 6$

Etapa 5.2.3.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 \cdot 2 x^{2} + 1 \cdot - 1 - 3 x = 6$

Etapa 5.2.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x^{2} + 1 \cdot - 1 - 3 x = 6$

Etapa 5.2.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$4 x^{2} - 1 - 3 x = 6$

Etapa 6

Fatore por agrupamento.

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Etapa 6.1

Reordene os termos.

$4 x^{2} - 3 x - 1 = 6$

Etapa 6.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ e cuja soma é $b = - 3$ .

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Etapa 6.2.1

Fatore $- 3$ de $- 3 x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 1 = 6$

Etapa 6.2.2

Reescreva $- 3$ como $1$ mais $- 4$

$4 x^{2} + (1 - 4) x - 1 = 6$

Etapa 6.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} + 1 x - 4 x - 1 = 6$

Etapa 6.2.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$4 x^{2} + x - 4 x - 1 = 6$

Etapa 6.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 6.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(4 x^{2} + x) - 4 x - 1 = 6$

Etapa 6.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (4 x + 1) - (4 x + 1) = 6$

Etapa 6.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 x + 1$ .

$(4 x + 1) (x - 1) = 6$

Etapa 7

Simplifique $(4 x + 1) (x - 1)$ .

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Etapa 7.1

Expanda $(4 x + 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 7.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x (x - 1) + 1 (x - 1) = 6$

Etapa 7.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = 6$

Etapa 7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = 6$

Etapa 7.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 7.2.1.1.1

Mova $x$ .

$4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = 6$

Etapa 7.2.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$4 x^{2} + 4 x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = 6$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$4 x^{2} - 4 x + 1 x + 1 \cdot - 1 = 6$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$4 x^{2} - 4 x + x + 1 \cdot - 1 = 6$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$4 x^{2} - 4 x + x - 1 = 6$

Etapa 7.2.2

Some $- 4 x$ e $x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 1 = 6$

Etapa 8

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$4 x^{2} - 3 x - 1 - 6 = 0$

Etapa 9

Subtraia $6$ de $- 1$ .

$4 x^{2} - 3 x - 7 = 0$

Etapa 10

Fatore por agrupamento.

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Etapa 10.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot - 7 = - 28$ e cuja soma é $b = - 3$ .

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Etapa 10.1.1

Fatore $- 3$ de $- 3 x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 7 = 0$

Etapa 10.1.2

Reescreva $- 3$ como $4$ mais $- 7$

$4 x^{2} + (4 - 7) x - 7 = 0$

Etapa 10.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} + 4 x - 7 x - 7 = 0$

Etapa 10.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 10.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(4 x^{2} + 4 x) - 7 x - 7 = 0$

Etapa 10.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$4 x (x + 1) - 7 (x + 1) = 0$

Etapa 10.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 1$ .

$(x + 1) (4 x - 7) = 0$

Etapa 11

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$4 x - 7 = 0$

Etapa 12

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 12.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 13

Defina $4 x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.1

Defina $4 x - 7$ como igual a $0$ .

$4 x - 7 = 0$

Etapa 13.2

Resolva $4 x - 7 = 0$ para $x$ .

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Etapa 13.2.1

Some $7$ aos dois lados da equação.

$4 x = 7$

Etapa 13.2.2

Divida cada termo em $4 x = 7$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 13.2.2.1

Divida cada termo em $4 x = 7$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{7}{4}$

Etapa 13.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 13.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 13.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{7}{4}$

Etapa 13.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{7}{4}$

Etapa 14

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (4 x - 7) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, \frac{7}{4}$

Etapa 15

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - 1, \frac{7}{4}$

Forma decimal:

$x = - 1, 1.75$

Forma de número misto:

$x = - 1, 1 \frac{3}{4}$