Álgebra Exemplos

$g (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 7$

Etapa 1

Escreva $g (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 7$ como uma equação.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + 7$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + 7$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $- \frac{y^{2}}{4} + 7 = x$ .

$- \frac{y^{2}}{4} + 7 = x$

Etapa 3.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$- \frac{y^{2}}{4} = x - 7$

Etapa 3.3

Multiplique os dois lados da equação por $- 4$ .

$- 4 (- \frac{y^{2}}{4}) = - 4 (x - 7)$

Etapa 3.4

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.1.1

Simplifique $- 4 (- \frac{y^{2}}{4})$ .

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Etapa 3.4.1.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.4.1.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{y^{2}}{4}$ para o numerador.

$- 4 \frac{- y^{2}}{4} = - 4 (x - 7)$

Etapa 3.4.1.1.1.2

Fatore $4$ de $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{- y^{2}}{4} = - 4 (x - 7)$

Etapa 3.4.1.1.1.3

Cancele o fator comum.

$4 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{4} = - 4 (x - 7)$

Etapa 3.4.1.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- - y^{2} = - 4 (x - 7)$

Etapa 3.4.1.1.2

Multiplique.

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Etapa 3.4.1.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 y^{2} = - 4 (x - 7)$

Etapa 3.4.1.1.2.2

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = - 4 (x - 7)$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique $- 4 (x - 7)$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = - 4 x - 4 \cdot - 7$

Etapa 3.4.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $- 7$ .

$y^{2} = - 4 x + 28$

Etapa 3.5

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{- 4 x + 28}$

Etapa 3.6

Simplifique $\pm \sqrt{- 4 x + 28}$ .

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Etapa 3.6.1

Fatore $4$ de $- 4 x + 28$ .

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Etapa 3.6.1.1

Fatore $4$ de $- 4 x$ .

$y = \pm \sqrt{4 (- x) + 28}$

Etapa 3.6.1.2

Fatore $4$ de $28$ .

$y = \pm \sqrt{4 (- x) + 4 (7)}$

Etapa 3.6.1.3

Fatore $4$ de $4 (- x) + 4 (7)$ .

$y = \pm \sqrt{4 (- x + 7)}$

Etapa 3.6.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} (- x + 7)}$

Etapa 3.6.3

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \pm 2 \sqrt{- x + 7}$

Etapa 3.7

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.7.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = 2 \sqrt{- x + 7}$

Etapa 3.7.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - 2 \sqrt{- x + 7}$

Etapa 3.7.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = 2 \sqrt{- x + 7}$

$y = - 2 \sqrt{- x + 7}$

$y = 2 \sqrt{- x + 7}$

$y = - 2 \sqrt{- x + 7}$

$y = 2 \sqrt{- x + 7}$

$y = - 2 \sqrt{- x + 7}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $g^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$g^{- 1} (x) = 2 \sqrt{- x + 7}, - 2 \sqrt{- x + 7}$

Etapa 5

Verifique se $g^{- 1} (x) = 2 \sqrt{- x + 7}, - 2 \sqrt{- x + 7}$ é o inverso de $g (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 7$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $g (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 7$ e $g^{- 1} (x) = 2 \sqrt{- x + 7}, - 2 \sqrt{- x + 7}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $g (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 7$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 7]$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $2 \sqrt{- x + 7}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{- x + 7}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$- x + 7 \geq 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Subtraia $7$ dos dois lados da desigualdade.

$- x \geq - 7$

Etapa 5.3.2.2

Divida cada termo em $- x \geq - 7$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.2.1

Divida cada termo em $- x \geq - 7$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 7}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 7}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- 7}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.2.3.1

Divida $- 7$ por $- 1$ .

$x \leq 7$

Etapa 5.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 7]$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $g (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 7$ .

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Etapa 5.4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5.5

Como o domínio de $g^{- 1} (x) = 2 \sqrt{- x + 7}, - 2 \sqrt{- x + 7}$ é o intervalo de $g (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 7$ , e o intervalo de $g^{- 1} (x) = 2 \sqrt{- x + 7}, - 2 \sqrt{- x + 7}$ é o domínio de $g (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 7$ , então, $g^{- 1} (x) = 2 \sqrt{- x + 7}, - 2 \sqrt{- x + 7}$ é o inverso de $g (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 7$ .

$g^{- 1} (x) = 2 \sqrt{- x + 7}, - 2 \sqrt{- x + 7}$

Etapa 6